Завдання № 29.15. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює $40\text{ см}$, а висота, проведена до основи, — $10\text{ см}$. Знайдіть площу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричних властивостей фігури

Нехай дано рівнобедрений трикутник $△ABC$, у якому бічні сторони рівні: $AB=BC$.
Відрізок $BK$ — висота, проведена до основи $AC$, тобто $BK\perp AC$ і $BK=10\text{ см}$.

За властивістю рівнобедреного трикутника, висота, проведена до основи, є також його медіаною. Звідси випливає, що точка $K$ ділить основу навпіл:
$AK=KC=\frac{AC}{2},\text{тобто }AC=2\cdot AK$

2. Вираження сторін через периметр

Периметр трикутника $△ABC$ дорівнює сумі довжин усіх його сторін:
$P=AB+BC+AC$

Оскільки $BC=AB$ та $AC=2\cdot AK$, підставимо ці співвідношення у формулу периметра:
$P=AB+AB+2\cdot AK=2\cdot AB+2\cdot AK=2\cdot (AB+AK)$

За умовою задачі $P=40\text{ см}$, отже:
$2\cdot (AB+AK)=40$
$AB+AK=20\text{ см}$

Нехай довжина відрізка $AK=x\text{ см}$ ($x>0$). Тоді довжина бічної сторони:
$AB=(20-x)\text{ см}$

3. Знаходження довжини основи за теоремою Піфагора

Розглянемо прямокутний трикутник $△ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$). За теоремою Піфагора:
$A{K}^2+B{K}^2=A{B}^2$

Підставимо відомі значення та вирази через $x$:
$x^2+10^2=(20-x{)}^2$
$x^2+100=400-40\cdot x+x^2$

Віднімемо $x^2$ від обох частин рівняння:
$100=400-40\cdot x$
$40\cdot x=400-100$
$40\cdot x=300$
$x=\frac{300}{40}=7,5$

Таким чином:
$AK=7,5\text{ см}$

Знайдемо повну довжину основи $AC$:
$AC=2\cdot AK=2\cdot 7,5=15\text{ см}$

4. Обчислення площі трикутника

Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BK$
$S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 10=15\cdot 5=75{\text{ см}}^2$

Відповідь: $75{\text{ см}}^2$.