Завдання № 29.13. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

У прямій чотирикутній призмі всі ребра рівні. Площа її бічної поверхні дорівнює $256{\text{ см}}^2$. Знайдіть об’єм призми, якщо один з гострих кутів основи дорівнює $30^{\circ }$.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення довжини ребер призми

Нехай довжина кожного ребра призми дорівнює $a$.

Оскільки призма є прямою і всі її ребра рівні:

• Усі чотири сторони основи мають довжину $a$, отже, основою призми є ромб зі стороною $a$.
• Бічні ребра перпендикулярні до площини основи, тому висота призми дорівнює довжині бічного ребра: $h=a$.

Площа бічної поверхні прямої призми обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h$

де $P_{\text{осн}}=4\cdot a$ — периметр ромба, що лежить в основі.

Підставимо значення у формулу:
$S_{\text{біч}}=4\cdot a\cdot a=4a^2$

За умовою задачі $S_{\text{біч}}=256{\text{ см}}^2$:

Отже, довжина ребра основи дорівнює $8\text{ см}$, а висота призми $h=8\text{ см}$.

2. Обчислення площі основи

Основою призми є ромб зі стороною $a=8\text{ см}$ і гострим кутом $\alpha =30^{\circ }$.

Площу ромба можна знайти як добуток квадратів його сторони на синус кута між ними:
$S_{\text{осн}}=a^2\cdot \sin 30^{\circ }$

Враховуючи, що $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}=0,5$:
$S_{\text{осн}}=8^2\cdot 0,5=64\cdot 0,5=32{\text{ см}}^2$

3. Обчислення об’єму призми

Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h$

$V=32\cdot 8=256{\text{ см}}^3$

Відповідь: $256{\text{ см}}^3$.