Завдання № 29.12. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Площа її бічної поверхні дорівнює $108{\text{ см}}^2$. Знайдіть об’єм призми.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз властивостей призми
У прямій трикутній призмі бічні ребра перпендикулярні до основ, а їхня довжина дорівнює висоті призми ($h$).
Нехай довжина кожного ребра призми дорівнює $a$. Тоді:

• в основах призми лежать рівносторонні трикутники зі стороною $a$;
• бічні грані є рівними квадратами зі стороною $a$;
• висота призми дорівнює ребру: $h=a$.

2. Знаходження довжини ребра призми
Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на висоту:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h$

Периметр основи (правильного трикутника зі стороною $a$):
$P_{\text{осн}}=3a$

Оскільки $h=a$, площа бічної поверхні дорівнює сумі площ трьох квадратних бічних граней:
$S_{\text{біч}}=3a\cdot a=3a^2$

За умовою задачі $S_{\text{біч}}=108{\text{ см}}^2$. Складемо рівняння:
$3a^2=108$
$a^2=\frac{108}{3}$
$a^2=36$
$a=\sqrt{36}=6\text{ см}$

3. Обчислення площі основи
Основою призми є рівносторонній трикутник зі стороною $a=6\text{ см}$. Площа правильного трикутника зі стороною $a$ знаходиться за формулою:
$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Підставимо значення $a^2=36$:
$S_{\text{осн}}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

4. Знаходження об’єму призми
Об’єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h$

Оскільки висота $h=a=6\text{ см}$:
$V=9\sqrt{3}\cdot 6=54\sqrt{3}{\text{ см}}^3$

Відповідь:
$54\sqrt{3}{\text{ см}}^3$