Завдання № 29.11. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
В основі прямої призми лежить ромб, діагоналі якого дорівнюють $6\text{ см}$ і $8\text{ см}$. Знайдіть площу повної поверхні та об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює $10\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

1. Обчислення площі основи призми
В основі призми лежить ромб із діагоналями $d_1=6\text{ см}$ та $d_2=8\text{ см}$. Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей:
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$

Підставимо значення:
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24{\text{ см}}^2$

2. Знаходження сторони та периметра основи
Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і точкою перетину діляться навпіл. Отже, вони розбивають ромб на чотири рівні прямокутні трикутники, катети яких дорівнюють половинам діагоналей:
$\frac{d_1}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см},\frac{d_2}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}$

Сторона ромба $a$ є гіпотенузою одного з таких прямокутних трикутників. За теоремою Піфагора:
$a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ см}$

Периметр основи $P_{\text{осн}}$ (ромба зі стороною $a$):
$P_{\text{осн}}=4\cdot a=4\cdot 5=20\text{ см}$

3. Знаходження площі бічної та повної поверхонь призми
Оскільки призма пряма, її висота $h$ дорівнює довжині бічного ребра:
$h=10\text{ см}$

Площа бічної поверхні прямої призми обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h=20\cdot 10=200{\text{ см}}^2$

Площа повної поверхні складається з бічної поверхні та подвоєної площі основи:
$S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+2\cdot S_{\text{осн}}=200+2\cdot 24=200+48=248{\text{ см}}^2$

4. Обчислення об’єму призми
Об’єм призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h=24\cdot 10=240{\text{ см}}^3$

Відповідь:
$248{\text{ см}}^2$, $240{\text{ см}}^3$.