Завдання № 29.10. § 29. Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Знайдіть об’єм та площу повної поверхні прямої призми, в основі якої лежить трикутник зі сторонами $9\text{ см}$, $10\text{ см}$ і $17\text{ см}$, а бічне ребро призми дорівнює $5\text{ см}$.

Покроковий розв’язок:

Нехай сторони трикутника в основі призми дорівнюють $a=9\text{ см}$, $b=10\text{ см}$, $c=17\text{ см}$, а висота (бічне ребро прямої призми) дорівнює $h=5\text{ см}$.

1. Обчислення площі основи призми

Оскільки відомі всі три сторони трикутника основи, знайдемо його площу $S_{\text{осн}}$ за формулою Герона:
$S_{\text{осн}}=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}$

Обчислимо півпериметр основи $p$:
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9+10+17}{2}=\frac{36}{2}=18\text{ см}$

Підставимо значення у формулу Герона:
$S_{\text{осн}}=\sqrt{18\cdot (18-9)\cdot (18-10)\cdot (18-17)}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}$

Для зручності обчислення розкладемо множники під коренем:
$S_{\text{осн}}=\sqrt{(18\cdot 8)\cdot 9}=\sqrt{144\cdot 9}=12\cdot 3=36{\text{ см}}^2$

2. Знаходження об’єму призми

Об’єм прямої призми обчислюється як добуток площі її основи на висоту:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h$
$V=36\cdot 5=180{\text{ см}}^3$

3. Знаходження площі повної поверхні призми

Площа повної поверхні призми складається з площ двох основ і площі бічної поверхні:
$S_{\text{повн}}=2\cdot S_{\text{осн}}+S_{\text{біч}}$

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи $P_{\text{осн}}$ на висоту $h$:
$P_{\text{осн}}=a+b+c=9+10+17=36\text{ см}$
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h=36\cdot 5=180{\text{ см}}^2$

Обчислимо повну поверхню:
$S_{\text{повн}}=2\cdot 36+180=72+180=252{\text{ см}}^2$

Відповідь: $180{\text{ см}}^3$, $252{\text{ см}}^2$.