Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Доведіть за допомогою векторів, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
Покроковий розв’язок:
Нехай задано , у якому відрізок є бісектрисою внутрішнього кута , а точка лежить на стороні . Потрібно довести, що:
1. Напрямок бісектриси через одиничні вектори
Розглянемо вектори та , що виходять із вершини кута . Їхні модулі дорівнюють довжинам відповідних сторін: та .
Побудуємо одиничні вектори та , співнапрямлені зі сторонами кута:
Оскільки , паралелограм, побудований на цих векторах як на сторонах, є ромбом. Діагональ ромба є бісектрисою його внутрішнього кута, тому сума цих векторів напрямлена вздовж бісектриси кута :
Оскільки відрізок — бісектриса кута , вектор співнапрямлений із вектором . Отже, існує деяке дійсне число , для якого:
2. Розклад вектора через поділ сторони
Оскільки точка лежить на стороні , вектори та є співнапрямленими. Нехай точка ділить сторону так, що:
Тоді , а довжина відрізка дорівнює:
Звідси відношення відрізків становить:
Виразимо вектор за правилом трикутника:
3. Зіставлення коефіцієнтів розкладу вектора
Вектори та не лежать на одній прямій, тому вони утворюють базис на площині. Розклад будь-якого вектора за цим базисом є єдиним.
Порівняємо коефіцієнти при та у двох отриманих розкладах для :
Поділивши друге рівняння системи на перше, маємо:
Оскільки раніше було встановлено, що , підставимо це значення:
Властивість бісектриси кута трикутника доведено.
Відповідь:
Доведено, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: .