Завдання № 28. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що фігура, яка має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, має і центр симетрії.

Покроковий розв’язок:

1. Введення декартової системи координат
Нехай дана фігура $F$ має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії $m$ і $n$.

Введемо на площині прямокутну декартову систему координат так, щоб:

• пряма $m$ була віссю абсцис ($Ox$);
• пряма $n$ була віссю ординат ($Oy$);
• точка їхнього перетину була початком координат $O(0;0)$.

2. Застосування осьової симетрії відносно прямої $n$
Нехай точка $K(a;b)$ — довільна точка, що належить даній фігурі $F$.

Оскільки пряма $n$ (вісь ординат) є віссю симетрії фігури $F$, то точка $K_1$, симетрична точці $K$ відносно цієї осі, також належить фігурі $F$.

За правилом осьової симетрії відносно осі ординат ордината точки залишається незмінною, а абсциса змінює знак на протилежний:
$K_1(-a;b)\in F$

3. Застосування осьової симетрії відносно прямої $m$
Оскільки пряма $m$ (вісь абсцис) також є віссю симетрії фігури $F$, то точка $K_2$, симетрична точці $K_1$ відносно цієї осі, також обов’язково належить фігурі $F$.

За правилом осьової симетрії відносно осі абсцис абсциса точки залишається незмінною, а ордината змінює знак на протилежний:
$K_2(-a;-b)\in F$

4. Зв’язок із центральною симетрією
Розглянемо початкову точку $K(a;b)$ та отриману точку $K_2(-a;-b)$. Знайдемо координати середини відрізка $K{K}_2$:
$x_0=\frac{a+(-a)}{2}=\frac{0}{2}=0$
$y_0=\frac{b+(-b)}{2}=\frac{0}{2}=0$

Серединою відрізка $K{K}_2$ є точка $O(0;0)$ — початок координат. Це означає, що точка $K_2(-a;-b)$ є симетричною точці $K(a;b)$ відносно точки $O$.

Оскільки для будь-якої точки $K\in F$ симетрична їй відносно точки $O$ точка $K_2$ також належить цій фігурі, то за означенням центральної симетрії точка $O$ є центром симетрії фігури $F$.

Отже, точка перетину двох взаємно перпендикулярних осей симетрії фігури є її центром симетрії. Твердження доведено.

Відповідь:
Доведено, що точка перетину двох взаємно перпендикулярних осей симетрії є центром симетрії фігури.