Завдання № 28. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Довжина сторони правильного шестикутника дорівнює $a$. У шестикутник вписано коло. Знайдіть довжину дуги кола між точками дотику до сусідніх сторін шестикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження радіуса вписаного кола

Правильний шестикутник складається з шести рівносторонніх трикутників зі стороною $a$, спільна вершина яких розташована в центрі шестикутника $O$.

Радіус $r$ вписаного в правильний шестикутник кола дорівнює висоті (апофемі) кожного з цих рівносторонніх трикутників:
$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Визначення градусної міри центрального кута

Нехай $F$ та $K$ — точки дотику вписаного кола до сусідніх сторін $AB$ та $BC$ відповідно.

Радіуси, проведені в точки дотику, перпендикулярні до сторін шестикутника ($OF\perp AB$, $OK\perp BC$) і ділять відповідні сторони навпіл:

• Центральний кут, що спирається на сторону правильного шестикутника, дорівнює:
  $\angle BOC=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$
• Оскільки трикутник $△BOC$ є рівностороннім, то радіус $OK$ є його висотою, медіаною та бісектрисою:
  $\angle BOK=\frac{1}{2}\cdot \angle BOC=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$
• Аналогічно, для сусіднього трикутника $△AOB$ відрізок $OF$ є бісектрисою, звідки:
  $\angle FOB=30^{\circ }$

Таким чином, центральний кут $\angle FOK$, який спирається на шукану дугу між точками дотику до сусідніх сторін, дорівнює:
$\angle FOK=\angle FOB+\angle BOK=30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$

3. Обчислення довжини дуги кола

Довжина дуги кола $l$ обчислюється за формулою:
$l=\frac{\pi \cdot r\cdot \alpha }{180^{\circ }}$
де $\alpha =60^{\circ }$ — градусна міра центрального кута, а $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Підставимо значення у формулу:
$l=\frac{\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot 60^{\circ }}{180^{\circ }}=\frac{\pi \cdot a\sqrt{3}\cdot 60^{\circ }}{2\cdot 180^{\circ }}=\frac{\pi a\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\pi a\sqrt{3}}{6}$

Відповідь: $\frac{\pi a\sqrt{3}}{6}$