Завдання № 28. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторона трикутника у $\sqrt{3}$ разів більша за радіус кола, описаного навколо цього трикутника. Знайдіть величину кута, що лежить проти цієї сторони.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів

Нехай довжина сторони трикутника дорівнює $a$, протилежний до неї кут — $\alpha$, а радіус описаного навколо трикутника кола — $R$.

За розширеною теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного кола:

2. Обчислення синуса шуканого кута

За умовою задачі сторона трикутника $a=R\sqrt{3}$. Підставимо цей вираз у формулу теореми синусів:

Поділимо обидві частини рівності на $R$ (оскільки $R>0$):

Звідси виразимо $\sin \alpha$:

3. Визначення можливих значень кута

Оскільки $\alpha$ є кутом трикутника, його градусна міра задовольняє умову $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$.

На цьому проміжку рівняння $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ має два корені:

1) Гострий кут:

2) Тупий кут:

Обидва випадки геометрично можливі: хорда, що дорівнює $R\sqrt{3}$, стягує дугу $120^{\circ }$, тому вписаний кут, вершина якого лежить на більшій дузі кола, дорівнює $60^{\circ }$, а вершина якого лежить на меншій дузі — дорівнює $120^{\circ }$.

Відповідь: $60^{\circ }$ або $120^{\circ }$.