Завдання № 28. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чи може бути нульовим вектором сума трьох векторів, модулі яких дорівнюють:

1) $3$, $7$, $10$;

2) $2$, $9$, $10$;

3) $13$, $5$, $6$?

Покроковий розв’язок:

Нехай задано три вектори $\vec{a}$, $\vec{b}$ і $\vec{c}$. Їхня сума дорівнює нульовому вектору:
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$
Звідси:
$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$

Перейдемо до модулів векторів. Оскільки $|-\vec{c}|=|\vec{c}|$, а за нерівністю трикутника для векторів $|\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$, маємо умову:
$|\vec{c}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$

Це означає, що сума трьох векторів може дорівнювати $\vec{0}$ тоді і тільки тоді, коли довжина найбільшого вектора не перевищує суми довжин двох інших векторів:

• Якщо найбільший модуль строго менший за суму двох інших, то вектори за правилом многокутника утворюють замкнений трикутник ($\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$).
• Якщо найбільший модуль дорівнює сумі двох інших, то вектори є колінеарними: два коротших вектори є співнапрямленими, а найдовший напрямлений протилежно до них.
• Якщо найбільший модуль більший за суму двох інших, замкнену фігуру утворити неможливо, тому сума векторів ніколи не дорівнюватиме $\vec{0}$.

Перевіримо кожен випадок:

1) Модулі векторів: $3$, $7$, $10$
Найбільший модуль дорівнює $10$.
Сума двох інших модулів:
$3+7=10$
Оскільки $10\le 10$, умова виконується. Вектори можуть бути колінеарними (два вектори з модулями $3$ і $7$ співнапрямлені, а вектор із модулем $10$ напрямлений протилежно до них). Сума цих трьох векторів може бути нульовим вектором.

2) Модулі векторів: $2$, $9$, $10$
Найбільший модуль дорівнює $10$.
Сума двох інших модулів:
$2+9=11$
Оскільки $10<11$, нерівність трикутника виконується ($10<2+9$). З таких векторів можна скласти замкнений трикутник за правилом трикутника. Сума цих трьох векторів може бути нульовим вектором.

3) Модулі векторів: $13$, $5$, $6$
Найбільший модуль дорівнює $13$.
Сума двох інших модулів:
$5+6=11$
Оскільки $13>11$, найбільший модуль перевищує суму двох інших модулів. Нерівність $|\vec{c}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$ не виконується, тому утворити замкнений контур або компенсувати вектор довжиною $13$ неможливо. Сума цих трьох векторів не може бути нульовим вектором.

Відповідь:

1) Може бути;

2) може бути;

3) не може бути.