Завдання № 28. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У рівнобедрений прямокутний трикутник $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) вписано квадрат $KLMN$ так, що точки $K$ і $L$ належать гіпотенузі трикутника, а точки $M$ і $N$ — катетам. Периметр квадрата дорівнює $20\text{ см}$. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Знаходження довжини сторони квадрата

Оскільки всі сторони квадрата рівні між собою, а його периметр дорівнює $P=20\text{ см}$, знайдемо сторону квадрата:

2. Визначення гострих кутів вихідного трикутника

За умовою, $△ABC$ — прямокутний і рівнобедрений із прямим кутом $\angle C=90^{\circ }$. Отже, катети $AC=BC$, а кути при гіпотенузі є рівними:

3. Дослідження трикутників $△AKN$ та $△BLM$

Розглянемо трикутник $△AKN$:

• Оскільки $KLMN$ — квадрат, то кут $\angle NKL=90^{\circ }$. Кути $\angle AKN$ та $\angle NKL$ є суміжними, отже: $$\angle AKN=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$$
• У прямокутному трикутнику $△AKN$ гострий кут $\angle A=45^{\circ }$. Тоді другий гострий кут: $$\angle ANK=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$$ Отже, $△AKN$ — рівнобедрений прямокутний трикутник з основою $AN$, звідки: $$AK=KN=5\text{ см}$$

Аналогічно розглянемо трикутник $△BLM$:

• Кут $\angle BLM=180^{\circ }-\angle KLM=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$.
• Кут $\angle B=45^{\circ }$, відповідно: $$\angle BML=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$$ Отже, $△BLM$ також є рівнобедреним прямокутним трикутником з основою $BM$, звідки: $$BL=LM=5\text{ см}$$

4. Обчислення гіпотенузи трикутника

Гіпотенуза $AB$ складається з трьох відрізків:

Підставимо знайдені значення:

Відповідь:
$15\text{ см}$.