Завдання № 28.9. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Паралельні прямі $a$ і $b$ перетинають площину $α$ відповідно в точках $A_{1}$ і $B_{1}$ , а площину $β$ , яка паралельна площині $α$ , відповідно в точках $A_{2}$ і $B_{2}$ (мал. 28.8). Знайдіть довжини відрізків $A_{1} B_{1}$ і $A_{1} A_{2}$ , якщо $A_{2} B_{2} = 3 см$ , $B_{1} B_{2} = 10 см$ .

Креслення до завдання 28.9

Покроковий розв’язок:

1. Визначення площини, що проходить через паралельні прямі:
За означенням площини, через дві паралельні прямі $a$ і $b$ проходить єдина площина. Позначимо цю площину через $γ$ .

Точки $A_{1}$ і $A_{2}$ належать прямій $a$ , а точки $B_{1}$ і $B_{2}$ належать прямій $b$ , тому всі чотири точки лежать у площині $γ$ . Отже, прямі $A_{1} A_{2}$ і $B_{1} B_{2}$ паралельні:
$A_{1} A_{2} ∥ B_{1} B_{2}$

2. Застосування властивості паралельних площин:
За властивістю паралельних площин, якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі їхнього перетину паралельні.

Площина $γ$ перетинає паралельні площини $α$ і $β$ по прямих $A_{1} B_{1}$ та $A_{2} B_{2}$ відповідно:
$A_{1} B_{1} = γ \cap α$
$A_{2} B_{2} = γ \cap β$

Звідси випливає, що лінії перетину є паралельними:
$A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$

3. Визначення виду чотирикутника та знаходження шуканих довжин:
Розглянемо чотирикутник $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ , який лежить у площині $γ$ :

$A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ (як лінії перетину паралельних площин третьою площиною);
$A_{1} A_{2} ∥ B_{1} B_{2}$ (оскільки прямі $a$ і $b$ паралельні за умовою).

Оскільки у чотирикутника протилежні сторони попарно паралельні, то чотирикутник $A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}$ є паралелограмом.

За властивістю паралелограма, його протилежні сторони рівні:
$A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2} = 3 см$
$A_{1} A_{2} = B_{1} B_{2} = 10 см$

Відповідь:
$A_{1} B_{1} = 3 см$ , $A_{1} A_{2} = 10 см$ .

Завдання № 28.9. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку