Завдання № 28.8. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площини $\alpha$ і $\beta$ паралельні. Площина $\gamma$ перетинає площину $\alpha$. Яке взаємне розміщення площин $\beta$ і $\gamma$?

Покроковий розв’язок:

1. Можливі випадки взаємного розміщення двох площин
У тривимірному просторі дві різні площини можуть або бути паралельними (не мати жодної спільної точки), або перетинатися по прямій.

2. Обґрунтування взаємного розміщення методом від супротивного
Припустимо, що площини $\beta$ і $\gamma$ не перетинаються:

1) Якщо $\beta$ і $\gamma$ збігаються, то площина $\gamma$ має бути паралельною до $\alpha$, що прямо суперечить умові задачі (площина $\gamma$ перетинає площину $\alpha$).

2) Якщо $\beta$ і $\gamma$ паралельні ($\beta \parallel \gamma$), то за властивістю транзитивності паралельності площин (дві площини, паралельні третій, паралельні між собою):
$\alpha \parallel \beta \text{та}\beta \parallel \gamma ⟹\alpha \parallel \gamma$
Це також суперечить умові про те, що площина $\gamma$ перетинає $\alpha$.

Оскільки припущення про паралельність площин $\beta$ і $\gamma$ приводить до суперечності, площини $\beta$ і $\gamma$ обов’язково перетинаються.

3. Геометрична властивість
Отриманий висновок відповідає фундаментальній властивості паралельних площин: якщо площина перетинає одну з двох паралельних площин, то вона обов’язково перетинає і другу площину (причому прямі перетину $a$ і $b$ є паралельними між собою).

Відповідь:
Площини $\beta$ і $\gamma$ перетинаються.