Завдання № 28.6. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — прямокутний паралелепіпед (мал. 28.7).

1) Яким є взаємне розміщення площин $A_{1}AB$ і $D_{1}CD$, $A_{1}AD$ і $D_{1}C{C}_1$?

2) Назвіть пряму перетину площин $A_1{B}_1{C}_1$ і $A_{1}AD$.

3) Чи є на малюнку пара площин граней, які перетинаються, але не перпендикулярні?

Покроковий розв’язок:

1. Взаємне розміщення вказаних пар площин:

• Площини $A_{1}AB$ (ліва грань $A{A}_1{B}_{1}B$) і $D_{1}CD$ (права грань $D{D}_1{C}_{1}C$) є протилежними гранями прямокутного паралелепіпеда. За властивістю прямокутного паралелепіпеда протилежні грані лежать у паралельних площинах, отже, площини $A_{1}AB$ і $D_{1}CD$ паралельні:
  $A_{1}AB\parallel D_{1}CD$
• Площини $A_{1}AD$ (передня грань $A{A}_1{D}_{1}D$) і $D_{1}C{C}_1$ (права грань $D{D}_1{C}_{1}C$) мають спільне ребро $D{D}_1$, тобто є суміжними гранями. За властивістю прямокутного паралелепіпеда суміжні грані взаємно перпендикулярні, отже:
  $A_{1}AD\perp D_{1}C{C}_1$

2. Визначення прямої перетину площин $A_1{B}_1{C}_1$ та $A_{1}AD$:
Площина $A_1{B}_1{C}_1$ містить верхню грань, а площина $A_{1}AD$ — передню грань. Обидві площини мають спільні точки $A_1$ та $D_1$. За аксіомою стереометрії, якщо дві площини мають спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що проходить через ці точки. Таким чином, лінією їхнього перетину є пряма $A_1{D}_1$.

3. Дослідження наявності площин граней, що перетинаються не під прямим кутом:
Усі шість граней прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками. Будь-які дві площини граней паралелепіпеда або паралельні (протилежні грані), або перетинаються під кутом $90^{\circ }$ (суміжні грані). Отже, пари площин граней, які б перетиналися і при цьому не були взаємно перпендикулярними, на малюнку немає.

Відповідь:

1) $A_{1}AB\parallel D_{1}CD$, $A_{1}AD\perp D_{1}C{C}_1$;

2) пряма $A_1{D}_1$;

3) ні.