Завдання № 28.21. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Висоти трикутника дорівнюють $h_1$, $h_2$, $h_3$ і задовольняють співвідношення:

Доведіть, що цей трикутник є прямокутним.

Покроковий розв’язок:

1. Вираження висот через площу трикутника

Нехай $a$, $b$ і $c$ — довжини сторін трикутника, до яких проведено висоти $h_1$, $h_2$ та $h_3$ відповідно.

Площу довільного трикутника можна обчислити як половину добутку сторони на проведену до неї висоту:

Звідси виразимо кожну з висот:

2. Обчислення відношень висот

Знайдемо відношення $\frac{h_1}{h_2}$ та $\frac{h_1}{h_3}$:

3. Підстановка у задану рівність

Підставимо отримані вирази у співвідношення з умови задачі:

Піднесемо дроби до квадрата:

Зведемо до спільного знаменника:

Помноживши обидві частини рівності на $a^2$ (оскільки $a>0$), отримуємо:

4. Висновок

Згідно з теоремою, оберненою до теореми Піфагора, якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, то такий трикутник є прямокутним. У даному трикутнику сторона $a$ є гіпотенузою, а сторони $b$ і $c$ — катетами (при цьому висоти $h_2$ та $h_3$ збігаються з відповідними катетами $c$ та $b$).

Отже, задане твердження повністю доведено.

Відповідь:
Доведено.