Завдання № 28.19. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У трапеції $A B C D$ відрізки $A D$ і $B C$ — основи, кути $A$ і $D$ — гострі. Бісектриси кутів $A$ і $D$ перетинаються в точці $K$ , що належить стороні $B C$ . Знайдіть периметр трапеції, якщо $A K = 5 см$ , $K D = 10 см$ , а висота трапеції дорівнює $1 см$ .

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження трикутників при бічних сторонах

Оскільки основи трапеції паралельні ( $B C ∥ A D$ ), січна $A K$ утворює рівні внутрішні різносторонні кути:

∠ B K A = ∠ K A D

За умовою відрізок $A K$ є бісектрисою кута $A$ , отже:

∠ B A K = ∠ K A D

Звідси маємо $∠ B A K = ∠ B K A$ . У трикутнику $A B K$ кути при основі рівні, отже, $△ A B K$ — рівнобедрений з основою $A K$ , тому:

A B = B K

Аналогічно для сторони $C D$ : оскільки $B C ∥ A D$ і $D K$ — січна, то $∠ C K D = ∠ K D A$ як внутрішні різносторонні. Оскільки $D K$ — бісектриса кута $D$ , то $∠ C D K = ∠ K D A$ . Звідси:

∠ C D K = ∠ C K D

Отже, трикутник $D C K$ є рівнобедреним з основою $K D$ , тому:

C D = C K

Таким чином, довжина меншої основи $B C$ дорівнює:

B C = B K + C K = A B + C D

2. Обчислення відрізків більшої основи

Проведемо з точки $K \in B C$ висоту $K H ⊥ A D$ . Оскільки відстань між паралельними прямими $B C$ та $A D$ дорівнює висоті трапеції, маємо $K H = 1 см$ .

Розглянемо прямокутний трикутники $△ A K H$ ( $∠ A H K = 9 0^{\circ}$ ):
За теоремою Піфагора:

A H = A K^{2} - K H^{2} = (5)^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4 = 2 см

Розглянемо прямокутний трикутник $△ D K H$ ( $∠ D H K = 9 0^{\circ}$ ):
За теоремою Піфагора:

H D = K D^{2} - K H^{2} = (10)^{2} - 1^{2} = 10 - 1 = 9 = 3 см

Оскільки основа $A D$ складається з відрізків $A H$ та $H D$ :

A D = A H + H D = 2 + 3 = 5 см

3. Знаходження бічних сторін трапеції

У прямокутному трикутнику $△ A K H$ :

cos ∠ K A H = \frac{A H}{A K} = \frac{2}{5}

Оскільки $∠ B A K = ∠ K A H$ , то $cos ∠ B A K = \frac{2}{5}$ .

Опустимо висоту з вершини $B$ на основу $A K$ рівнобедреного трикутника $△ A B K$ . Вона ділить основу навпіл, тому:

A B = \frac{\frac{A K}{2}}{cos ∠ B A K} = \frac{A K}{2 \cdot cos ∠ B A K} = \frac{5}{2 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{5}{4} = 1, 25 см

Відповідно, $B K = 1, 25 см = \frac{5}{4} см$ .

У прямокутному трикутнику $△ D K H$ :

cos ∠ K D H = \frac{H D}{K D} = \frac{3}{10}

Оскільки $∠ C D K = ∠ K D H$ , то $cos ∠ C D K = \frac{3}{10}$ .

У рівнобедреному трикутнику $△ D C K$ знаходимо бічну сторону:

C D = \frac{K D}{2 \cdot cos ∠ C D K} = \frac{10}{2 \cdot \frac{3}{10}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} см

Відповідно, $C K = \frac{5}{3} см$ .

4. Обчислення основи $B C$ та периметра трапеції

Обчислимо довжину меншої основи $B C$ :

B C = B K + C K = \frac{5}{4} + \frac{5}{3} = \frac{15 + 20}{12} = \frac{35}{12} см

Периметр трапеції дорівнює сумі довжин усіх її сторін:

P = A B + B C + C D + A D = \frac{5}{4} + \frac{35}{12} + \frac{5}{3} + 5 = \frac{15 + 35 + 20}{12} + 5 = \frac{70}{12} + 5 = \frac{35}{6} + 5 = 5 \frac{5}{6} + 5 = 10 \frac{5}{6} см

Відповідь:
$10 \frac{5}{6} см$

Завдання № 28.19. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку