Завдання № 28.18. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Хорда завдовжки $30\text{ см}$ перпендикулярна до діаметра і ділить його на відрізки у відношенні $1:9$. Знайдіть довжину кола.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз геометричної конфігурації:
Нехай задано коло з центром у точці $O$, діаметром $AB$ та хордою $CD$.
Хорда $CD$ перетинає діаметр $AB$ у точці $K$, причому $AB\perp CD$.

За властивістю діаметра, перпендикулярного до хорди, він ділить цю хорду навпіл:
$CK=KD=\frac{CD}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ см}$

2. Вираження відрізків діаметра:
За умовою точка $K$ ділить діаметр у відношенні $1:9$. Тобто:
$KB:AK=1:9$

Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює $x$ ($x>0$). Тоді:
$KB=x\text{ см},AK=9x\text{ см}$

3. Знаходження довжини відрізків за теоремою про перетин хорд:
За теоремою про пропорційність відрізків хорд, що перетинаються, добутки відрізків кожної з хорд рівні між собою:
$AK\cdot KB=CK\cdot KD$

Підставимо відомі значення у формулу:
$9x\cdot x=15\cdot 15$
$9x^2=225$
$x^2=\frac{225}{9}=25$

Оскільки довжина відрізка є додатною величиною ($x>0$):
$x=5\text{ см}$

4. Обчислення радіуса та довжини кола:
Діаметр кола дорівнює сумі його відрізків:
$d=AB=AK+KB=9x+x=10x=10\cdot 5=50\text{ см}$

Радіус кола дорівнює половині діаметра:
$R=\frac{d}{2}=\frac{50}{2}=25\text{ см}$

Довжину кола знайдемо за формулою $C=2\pi R$:
$C=2\cdot \pi \cdot 25=50\pi \text{ см}$

Відповідь: $50\pi \text{ см}$.