Завдання № 28.17. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Доведіть, що дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні.

Покроковий розв’язок:

1. Введення позначень
Нехай дано пряму $a$ та дві різні площини $\alpha$ і $\beta$, які перпендикулярні до цієї прямої:
$\alpha \perp a\text{та}\beta \perp a$
Позначимо точки перетину прямої $a$ з площинами $\alpha$ та $\beta$ відповідно як $M$ і $N$:
$a\cap \alpha =M,a\cap \beta =N$
Оскільки площини $\alpha$ та $\beta$ різні, точки $M$ і $N$ не збігаються ($M\ne N$).

2. Припущення від супротивного
Припустимо, що площини $\alpha$ та $\beta$ не є паралельними.

Якщо дві площини не паралельні, то вони перетинаються по деякій прямій, а отже, мають спільну точку. Нехай такою спільною точкою буде точка $K$ ($K\in \alpha$ і $K\in \beta$).

Оскільки пряма $a$ перетинає площину $\alpha$ тільки в точці $M$, а площину $\beta$ — тільки в точці $N$, точка $K$ не може лежати на прямій $a$. Отже, точки $K$, $M$ і $N$ не лежать на одній прямій і утворюють трикутник $△KMN$.

3. Геометрична суперечність
Розглянемо властивості сторін трикутника $△KMN$:

• Пряма $KM$ лежить у площині $\alpha$ ($K\in \alpha ,M\in \alpha$). За означенням прямої, перпендикулярної до площини, пряма $a$ перпендикулярна до будь-якої прямої цієї площини, яка проходить через точку перетину. Отже, $a\perp KM$, звідки в прямокутному куті $\angle KMN=90^{\circ }$.
• Аналогічно, пряма $KN$ лежить у площині $\beta$ ($K\in \beta ,N\in \beta$). Оскільки $a\perp \beta$, маємо $a\perp KN$, звідки $\angle KNM=90^{\circ }$.

Ми отримали, що в трикутнику $△KMN$ є два прямих кути:
$\angle KMN=90^{\circ }\text{та}\angle KNM=90^{\circ }$
Це суперечить теоремі про суму кутів трикутника, адже:
$\angle KMN+\angle KNM=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$
а сума всіх трьох кутів трикутника має дорівнювати $180^{\circ }$ (кут $\angle MKN$ не може дорівнювати $0^{\circ }$).

4. Висновок
Отримана суперечність доводить, що наше припущення було хибним. Отже, площини $\alpha$ та $\beta$ не можуть мати спільних точок, тому вони паралельні: $\alpha \parallel \beta$.

Відповідь:
Доведено, що дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, є паралельними ($\alpha \parallel \beta$).