Завдання № 28.16. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Кожна з площин $\alpha$ і $\beta$ паралельна прямій $m$. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) бути перпендикулярними?

Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:

Згідно з означенням, пряма паралельна площині, якщо вона не має з нею жодної спільної точки.
За ознакою паралельності прямої та площини: якщо пряма, яка не належить даній площині, паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Розглянемо кожне з трьох запитань:

1. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$ бути паралельними?

Так, можуть.
Якщо площини паралельні ($\alpha \parallel \beta$), то будь-яка пряма $m$, яка паралельна довільній прямій площини $\alpha$ і не лежить у площинах $\alpha$ та $\beta$, буде одночасно паралельною як площині $\alpha$, так і площині $\beta$.

2. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$ перетинатися?

Так, можуть.
Нехай площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються по деякій прямій $l$ ($\alpha \cap \beta =l$). Якщо пряма $m$ не лежить у жодній із цих площин і є паралельною до лінії їхнього перетину ($m\parallel l$), то за ознакою паралельності прямої та площини:

• оскільки $l\subset \alpha$ і $m\parallel l$, маємо $m\parallel \alpha$;
• оскільки $l\subset \beta$ і $m\parallel l$, маємо $m\parallel \beta$.

Отже, обидві площини, що перетинаються, паралельні одній і тій самій прямій $m$.

3. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$ бути перпендикулярними?

Так, можуть.
Взаємна перпендикулярність площин ($\alpha \perp \beta$) є окремим випадком перетину площин під кутом $90^{\circ }$.
Якщо дві площини перпендикулярні та перетинаються по прямій $l$, то будь-яка пряма $m$, проведена паралельно до цієї лінії перетину ($m\parallel l$, де $m\notin \alpha$ та $m\notin \beta$), буде паралельною до кожної з площин $\alpha$ і $\beta$.

Відповідь:

1) Так, можуть;

2) Так, можуть;

3) Так, можуть.