Завдання № 28.15. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямі $a$ і $b$ паралельні. Площина $\alpha$ паралельна прямій $a$, а площина $\beta$ — прямій $b$. Чи можуть площини $\alpha$ і $\beta$:

1) бути паралельними;

2) перетинатися;

3) бути перпендикулярними?
Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:

За умовою задачі прямі паралельні ($a\parallel b$), а площини задовольняють умови: $a\parallel \alpha$ та $b\parallel \beta$. Розглянемо кожен із можливих випадків взаємного розміщення площин $\alpha$ і $\beta$.

1. Площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути паралельними ($\alpha \parallel \beta$)

Нехай площини $\alpha$ і $\beta$ паралельні. Якщо прямі $a$ і $b$ паралельні між собою та паралельні обом площинам (наприклад, розташовані у просторі між ними), то умова задачі повністю виконується: пряма $a$ паралельна площині $\alpha$, а пряма $b$ паралельна площині $\beta$.

2. Площини $\alpha$ і $\beta$ можуть перетинатися

Нехай площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються по прямій $c$ ($\alpha \cap \beta =c$). Якщо паралельні прямі $a$ і $b$ паралельні лінії перетину площин ($a\parallel b\parallel c$) і не лежать у площинах $\alpha$ та $\beta$, то за ознакою паралельності прямої та площини пряма $a$ буде паралельною площині $\alpha$ ($a\parallel \alpha$), а пряма $b$ — паралельною площині $\beta$ ($b\parallel \beta$). Таким чином, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть перетинатися під довільним кутом.

3. Площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути перпендикулярними ($\alpha \perp \beta$)

Перпендикулярність площин є окремим випадком їхнього перетину, коли кут між площинами становить $90^{\circ }$. Якщо площини $\alpha$ і $\beta$ взаємно перпендикулярні та перетинаються по прямій $c$, а паралельні прямі $a$ і $b$ паралельні цій лінії перетину ($a\parallel b\parallel c$), то $a\parallel \alpha$ і $b\parallel \beta$. Отже, площини $\alpha$ і $\beta$ можуть бути взаємно перпендикулярними.

Відповідь:

1) Так, можуть;

2) Так, можуть;

3) Так, можуть.