Завдання № 28.14. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються. Пряма $a$ належить площині $\alpha$, а пряма $b$ — площині $\beta$. Чи можуть прямі $a$ і $b$:

1) бути паралельними;

2) бути мимобіжними;

3) перетинатися?

Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:
Нехай площини $\alpha$ і $\beta$ перетинаються по прямій $c$, тобто $\alpha \cap \beta =c$. За умовою $a\subset \alpha$ та $b\subset \beta$. Розглянемо всі можливі випадки взаємного розміщення прямих $a$ і $b$:

1. Випадок паралельності прямих ($a\parallel b$)
Прямі $a$ і $b$ можуть бути паралельними.
За теоремою про паралельність трьох прямих у просторі: якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою. Отже, якщо пряма $a$ паралельна лінії перетину площин $c$ ($a\parallel c$), і пряма $b$ також паралельна лінії перетину $c$ ($b\parallel c$), то прямі $a$ та $b$ паралельні між собою ($a\parallel b$).

2. Випадок мимобіжності прямих
Прямі $a$ і $b$ можуть бути мимобіжними.
За ознакою мимобіжних прямих: якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці дві прямі є мимобіжними.
Пряма $a$ лежить у площині $\alpha$. Нехай пряма $b$ перетинає пряму $c$ (а отже, і площину $\alpha$) у деякій точці, яка не належить прямій $a$. За таких умов прямі $a$ і $b$ не мають спільних точок і не лежать в одній площині, тобто є мимобіжними.

3. Випадок перетину прямих
Прямі $a$ і $b$ можуть перетинатися.
Оскільки спільні точки площин $\alpha$ і $\beta$ лежать виключно на їхній лінії перетину $c$, спільна точка прямих $a$ і $b$ обов’язково повинна належати прямій $c$. Якщо пряма $a$ перетинає пряму $c$ у точці $P$, і пряма $b$ також проходить через цю точку $P$ ($a\cap c=P$, $b\cap c=P$), то прямі $a$ і $b$ перетинаються в точці $P$.

Відповідь:

1) Так, можуть;

2) так, можуть;

3) так, можуть.