Завдання № 28.13. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Площини $\alpha$ і $\beta$ — паралельні. Пряма $a$ належить площині $\alpha$, а пряма $b$ — площині $\beta$. Чи можуть прямі $a$ і $b$:

1) бути паралельними;

2) бути мимобіжними;

3) перетинатися?

Зробіть малюнки до можливих випадків розміщення.

Покроковий розв’язок:

1. Дослідження можливості паралельності прямих ($a\parallel b$)
Так, прямі $a$ і $b$ можуть бути паралельними.
За властивістю паралельних площин: якщо деяка площина $\gamma$ перетинає дві паралельні площини $\alpha$ і $\beta$, то лінії їхнього перетину є паралельними прямими.
Якщо провести через пряму $a$ площину $\gamma$, яка перетинає площину $\beta$ по прямій $b$, то прямі $a$ і $b$ лежатимуть в одній площині $\gamma$ і не перетинатимуться (оскільки площини $\alpha$ і $\beta$ не мають спільних точок). Отже, $a\parallel b$.

2. Дослідження можливості мимобіжності прямих
Так, прямі $a$ і $b$ можуть бути мимобіжними.
За означенням, дві прямі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині.
Оскільки $\alpha \parallel \beta$, прямі $a$ і $b$ не мають спільних точок. Якщо прямі $a$ та $b$ провести так, щоб вони не були співнапрямленими (не були паралельними), то через них неможливо буде провести спільну площину. Відповідно, прямі $a$ і $b$ будуть мимобіжними.

3. Дослідження можливості перетину прямих
Ні, прямі $a$ і $b$ перетинатися не можуть.
За означенням, паралельні площини не мають жодної спільної точки: $\alpha \cap \beta =\varnothing$.
Оскільки $a\subset \alpha$, усі точки прямої $a$ належать площині $\alpha$. Аналогічно, оскільки $b\subset \beta$, усі точки прямої $b$ належать площині $\beta$. Якби прямі $a$ і $b$ перетиналися в певній точці $M$, то ця точка одночасно належала б і прямій $a$, і прямій $b$, а отже — і площині $\alpha$, і площині $\beta$ ($M\in \alpha$ та $M\in \beta$). Це суперечить умові паралельності площин $\alpha \parallel \beta$.

Відповідь:

1) Так;

2) Так;

3) Ні.