Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Кінець відрізка належить площині , а кінець — площині . Площини і паралельні, . Чи може відстань від точки до площини дорівнювати:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ?
Покроковий розв’язок:
1. Геометричний зміст відстані від точки до площини
Відстанню від точки до площини є довжина перпендикуляра , опущеного з точки на площину , де . Позначимо цю відстань як .
2. Дослідження залежності між перпендикуляром і похилою
Оскільки площини і паралельні, точка не належить площині , тому відстань між ними є строго додатною: .
Розглянемо можливі випадки взаємного розміщення відрізка та площини :
- Якщо відрізок є перпендикуляром до площини , то основа перпендикуляра збігається з точкою . У такому разі довжина перпендикуляра дорівнює довжині самого відрізка:
- Якщо відрізок не є перпендикуляром до площини , то він є похилою, а відрізок — її проєкцією на площину . Тоді трикутник є прямокутним із прямим кутом . У прямокутному трикутнику катет завжди менший за гіпотенузу:
Об’єднуючи обидва випадки, маємо: довжина перпендикуляра не перевищує довжини похилої, тобто:
Отже, шукана відстань може набувати будь-якого значення з числового проміжку .
3. Перевірка варіантів
1) : оскільки , відстань не може дорівнювати (перпендикуляр не може бути довшим за похилу).
2) : оскільки , відстань може дорівнювати (у випадку, коли ).
3) : оскільки , відстань може дорівнювати .
4) : оскільки , відстань може дорівнювати .
Відповідь:
1) Не може;
2) може;
3) може;
4) може.