Завдання № 28.11. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінець $A$ відрізка $A B$ належить площині $α$ , а кінець $B$ — площині $β$ . Площини $α$ і $β$ паралельні ( $α ∥ β$ ). Довжина відрізка $A B$ дорівнює $12 см$ . Чи може відстань від точки $A$ до площини $β$ дорівнювати:

1) $11 см$ ;

2) $12 см$ ;

3) $13 см$ ;

4) $15 см$ ?

Покроковий розв’язок:

1. Геометричні властивості перпендикуляра та похилої

Відстанню від точки $A$ до площини $β$ називають довжину перпендикуляра $A H$ , опущеного з точки $A$ на площину $β$ ( $A H ⊥ β$ , де $H \in β$ ). Позначимо цю відстань як $d = A H$ .

Розглянемо взаємне розміщення відрізка $A B$ та перпендикуляра $A H$ :

Якщо відрізок $A B$ перпендикулярний до площини $β$ ( $A B ⊥ β$ ), то точка $B$ збігається з основою перпендикуляра $H$ . У такому разі довжина відрізка дорівнює відстані між площинами:
$d = A B = 12 см$
Якщо відрізок $A B$ не є перпендикулярним до площини $β$ , то він є похилою, а відрізок $H B$ — її проекцією на площину $β$ . Оскільки $A H ⊥ β$ , пряма $A H$ перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині, зокрема $A H ⊥ H B$ . Отже, $△ A H B$ — прямокутний із прямим кутом $∠ A H B = 9 0^{\circ}$ .

У прямокутному трикутнику $△ A H B$ відрізок $A B$ є гіпотенузою, а перпендикуляр $A H = d$ — катетом. Оскільки катет завжди строго менший за гіпотенузу, маємо:
$d < A B ⟹ d < 12 см$

2. Загальна умова для відстані $d$

Об’єднуючи обидва випадки, дістаємо умову: довжина перпендикуляра не може перевищувати довжини похилої:
$d \leq A B ⟹ d \leq 12 см$

3. Перевірка запропонованих значень

1) $11 см$ : оскільки $11 см < 12 см$ , така відстань можлива (відрізок $A B$ є похилою).

2) $12 см$ : оскільки $12 см = 12 см$ , така відстань можлива (відрізок $A B$ є перпендикуляром до площини $β$ ).

3) $13 см$ : оскільки $13 см > 12 см$ , така відстань неможлива (перпендикуляр не може бути довшим за похилу).

4) $15 см$ : оскільки $15 см > 12 см$ , така відстань неможлива.

Відповідь: 1) так; 2) так; 3) ні; 4) ні. (Відстань може дорівнювати $11 см$ або $12 см$ ).

Завдання № 28.11. § 28. Взаємне розміщення площин (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку