Завдання № 27. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Доведіть за допомогою векторів, що всі медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться цією точкою у відношенні $2 : 1$ , починаючи від вершини.

Покроковий розв’язок:

Нехай у довільному трикутнику $A B C$ проведено медіани $A A_{1}$ , $B B_{1}$ і $C C_{1}$ , де точки $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — середини сторін $B C$ , $A C$ і $A B$ відповідно.

1. Введення базисних векторів та вираження медіан

Позначимо вектори сторін, що виходять із вершини $A$ :

A B = b, A C = c

Оскільки точки не лежать на одній прямій, вектори $b$ і $c$ є неколінеарними.

Оскільки точка $A_{1}$ — середина сторони $B C$ , то за правилом радіус-вектора середини відрізка:

A A_{1} = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c

Точка $B_{1}$ — середина сторони $A C$ , отже $A B_{1} = \frac{1}{2} c$ . Виразимо вектор медіани $B B_{1}$ :

B B_{1} = A B_{1} - A B = \frac{1}{2} c - b

Точка $C_{1}$ — середина сторони $A B$ , отже $A C_{1} = \frac{1}{2} b$ . Виразимо вектор медіани $C C_{1}$ :

C C_{1} = A C_{1} - A C = \frac{1}{2} b - c

2. Знаходження точки перетину медіан $A A_{1}$ і $B B_{1}$

Нехай точка $O$ — точка перетину прямих $A A_{1}$ та $B B_{1}$ . Тоді:

Вектор $A O$ колінеарний вектору $A A_{1}$ , тобто $A O = α \cdot A A_{1}$ для деякого числа $α$ .
Вектор $B O$ колінеарний вектору $B B_{1}$ , тобто $B O = β \cdot B B_{1}$ для деякого числа $β$ .

За правилом додавання векторів:

A O = A B + B O

Підставимо отримані вирази через базисні вектори $b$ та $c$ :

α \cdot (\frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c) = b + β \cdot (\frac{1}{2} c - b)

\frac{α}{2} b + \frac{α}{2} c = (1 - β) b + \frac{β}{2} c

Згрупуємо члени:

(\frac{α}{2} - (1 - β)) b + (\frac{α}{2} - \frac{β}{2}) c = 0

Оскільки вектори $b$ і $c$ є неколінеарними, ця рівність можлива тоді й лише тоді, коли коефіцієнти при них одночасно дорівнюють нулю:

⎩ ⎨ ⎧ \frac{α}{2} - \frac{β}{2} = 0 \frac{α}{2} + β = 1

З першого рівняння отримуємо $α = β$ . Підставляємо в друге рівняння:

\frac{α}{2} + α = 1 ⟹ \frac{3}{2} α = 1 ⟹ α = \frac{2}{3}

Отже, $α = β = \frac{2}{3}$ .

Це означає, що:

A O = \frac{2}{3} A A_{1} ⟹ A O = \frac{2}{3} A A_{1}, O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}

B O = \frac{2}{3} B B_{1} ⟹ B O = \frac{2}{3} B B_{1}, O B_{1} = \frac{1}{3} B B_{1}

Тобто точка $O$ ділить кожну з медіан $A A_{1}$ і $B B_{1}$ у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від відповідної вершини ( $A O : O A_{1} = 2 : 1$ та $B O : O B_{1} = 2 : 1$ ).

3. Доведення належності точки $O$ третій медіані $C C_{1}$

Виразимо вектор $C O$ через вектори $b$ та $c$ :

C O = A O - A C = \frac{2}{3} A A_{1} - c

C O = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c) - c = \frac{1}{3} b + \frac{1}{3} c - c = \frac{1}{3} b - \frac{2}{3} c

Винесемо множник $\frac{2}{3}$ за дужки:

C O = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} b - c)

Оскільки раніше ми встановили, що $C C_{1} = \frac{1}{2} b - c$ , маємо:

C O = \frac{2}{3} C C_{1}

Отримана векторна рівність доводить, що:

1) Вектори $C O$ та $C C_{1}$ є співнапрямленими, тобто точка $O$ лежить на відрізку $C C_{1}$ .

2) Довжина відрізка $C O = \frac{2}{3} C C_{1}$ , а отже $O C_{1} = \frac{1}{3} C C_{1}$ , що відповідає відношенню $C O : O C_{1} = 2 : 1$ .

Таким чином, усі три медіани трикутника перетинаються в одній точці $O$ і діляться нею у відношенні $2 : 1$ , рахуючи від вершини.

Відповідь:
Твердження доведено. Усі медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться нею у відношенні $2 : 1$ , починаючи від вершини.

Завдання № 27. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку