Завдання № 27. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Точки $A$ і $A^{\prime }$, $B$ і $B^{\prime }$ попарно симетричні відносно прямої $l$ (мал. 1). Доведіть, що навколо чотирикутника $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ можна описати коло.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення виду чотирикутника $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$

За означенням осьової симетрії відносно прямої $l$:

• пряма $l$ є серединним перпендикуляром до відрізка $A{A}^{\prime }$, тобто $A{A}^{\prime }\perp l$;
• пряма $l$ є серединним перпендикуляром до відрізка $B{B}^{\prime }$, тобто $B{B}^{\prime }\perp l$.

Оскільки дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої прямої, є паралельними між собою, маємо:
$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$

Отже, сторони $A{A}^{\prime }$ і $B{B}^{\prime }$ чотирикутника $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ паралельні, тобто вони є основами трапеції.

Осьова симетрія є рухом (ізометрією), тому вона зберігає відстані між точками. При симетрії відносно прямої $l$ точка $A$ переходить у точку $A^{\prime }$, а точка $B$ — у точку $B^{\prime }$. Звідси випливає рівність відрізків:
$AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$

Оскільки бічні сторони трапеції рівні ($AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$), чотирикутник $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ є рівнобічною трапецією.

2. Доведення можливості описати коло

Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ }$.

Розглянемо кути трапеції $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$:

1) За властивістю рівнобічної трапеції кути при кожній з основ є рівними. Для основи $B{B}^{\prime }$:
$\angle AB{B}^{\prime }=\angle A^{\prime }{B}^{\prime }B$

2) Прямі $A{A}^{\prime }$ і $B{B}^{\prime }$ паралельні, а пряма $A^{\prime }{B}^{\prime }$ є їхньою січною. Кути $\angle A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ та $\angle A^{\prime }{B}^{\prime }B$ є внутрішніми односторонніми кутами при паралельних прямих $A{A}^{\prime }$ і $B{B}^{\prime }$, тому їхня сума дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A{A}^{\prime }{B}^{\prime }+\angle A^{\prime }{B}^{\prime }B=180^{\circ }$

3) Підставимо значення кута $\angle A^{\prime }{B}^{\prime }B=\angle AB{B}^{\prime }$ у цю рівність:
$\angle A{A}^{\prime }{B}^{\prime }+\angle AB{B}^{\prime }=180^{\circ }$

Кути $\angle A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ і $\angle AB{B}^{\prime }$ є протилежними кутами чотирикутника $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, і їхня сума становить $180^{\circ }$.

Оскільки сума всіх кутів опуклого чотирикутника дорівнює $360^{\circ }$, то сума іншої пари протилежних кутів також дорівнює:
$\angle BA{A}^{\prime }+\angle B{B}^{\prime }{A}^{\prime }=360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ }$

Отже, суми протилежних кутів чотирикутника $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ дорівнюють $180^{\circ }$, що є достатньою умовою для того, щоб навколо нього можна було описати коло.

Доведено.

Відповідь:
Доведено, що чотирикутник $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ є рівнобічною трапецією, сума протилежних кутів якої дорівнює $180^{\circ }$, тому навколо нього можна описати коло.