Завдання № 27. Вправи для повторення розділу 4 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці хорди ділять коло у відношенні $1:5$, при цьому більша дуга має довжину $20\pi \text{ см}$. Знайдіть довжину хорди.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення градусних мір дуг кола

Повне коло містить $360^{\circ }$. Оскільки кінці хорди $AB$ ділять коло у відношенні $1:5$, загальна кількість рівних частин становить:
$1+5=6$

Знайдемо градусну міру однієї частини (відповідає меншій дузі):
$\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$

Тоді градусна міра більшої дуги дорівнює:
$5\cdot 60^{\circ }=300^{\circ }$

Центральний кут, що спирається на більшу дугу, дорівнює $\alpha =300^{\circ }$, а центральний кут $\angle AOB$, що спирається на хорду $AB$ (меншу дугу), дорівнює $60^{\circ }$.

2. Знаходження радіуса кола

Довжину дуги кола обчислюють за формулою:
$l=\frac{\pi R\cdot \alpha }{180^{\circ }}$

Підставимо значення довжини більшої дуги $l=20\pi \text{ см}$ та $\alpha =300^{\circ }$:
$\frac{\pi R\cdot 300^{\circ }}{180^{\circ }}=20\pi$

Скоротимо обидві частини рівняння на $\pi$ та спростимо дріб:
$\frac{5\cdot R}{3}=20$
$5\cdot R=60$
$R=12\text{ см}$

3. Обчислення довжини хорди

Розглянемо трикутник $△AOB$, утворений хордою $AB$ та двома радіусами кола $OA=OB=R=12\text{ см}$.

Оскільки $OA=OB$, трикутник $△AOB$ є рівнобедреним. Кут між бічними сторонами (радіусами) становить $\angle AOB=60^{\circ }$.

Кути при основі рівні:
$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$

Отже, всі кути трикутника дорівнюють $60^{\circ }$, тому $△AOB$ — рівносторонній.

Звідси довжина хорди дорівнює радіусу кола:
$AB=R=12\text{ см}$

(Перевірка за теоремою косинусів: $AB=\sqrt{R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos 60^{\circ }}=\sqrt{12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{144}=12\text{ см}$).

Відповідь: $12\text{ см}$.