Завдання № 27. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
У трикутнику $A B C$ відомо, що $A C = 10 см$ , $B C = 7 см$ . Чи можливо, що:

1) $sin B = \frac{2}{3}$ ;

2) $sin A = \frac{4}{5}$ ?

Покроковий розв’язок:

За теоремою синусів для трикутника $A B C$ відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута є величиною сталою:

\frac{A C}{sin B} = \frac{B C}{sin A}

Звідси можна виразити значення невідомого синуса:

sin A = \frac{B C \cdot sin B}{A C}, sin B = \frac{A C \cdot sin A}{B C}

Для будь-якого внутрішнього кута трикутника його міра належить проміжку $(0^{\circ}; 18 0^{\circ})$ , тому значення синуса обов’язково має задовольняти подвійну нерівність:

0 < sin α \leq 1

1. Перевіримо умову $sin B = \frac{2}{3}$ :

Обчислимо значення $sin A$ :

sin A = \frac{B C \cdot sin B}{A C} = \frac{7 \cdot \frac{2}{3}}{10} = \frac{\frac{14}{3}}{10} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}

Оскільки $0 < \frac{7}{15} < 1$ , значення синуса лежить у допустимих межах. До того ж більшій стороні $A C = 10 см$ відповідає більший кут ( $sin B = \frac{2}{3} = \frac{10}{15} > \frac{7}{15} = sin A$ ), отже, такий трикутник дійсно існує. Значення $sin B = \frac{2}{3}$ — можливо.

2. Перевіримо умову $sin A = \frac{4}{5}$ :

Обчислимо значення $sin B$ :

sin B = \frac{A C \cdot sin A}{B C} = \frac{10 \cdot \frac{4}{5}}{7} = \frac{8}{7} = 1 \frac{1}{7}

Оскільки $\frac{8}{7} > 1$ , а синус кута трикутника не може бути більшим за $1$ , дане значення є неможливим. Отже, рівність $sin A = \frac{4}{5}$ виконуватися не може.

Відповідь:

1) Так, можливо;

2) Ні, неможливо.

Завдання № 27. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку