Завдання № 27. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
У рівнобедрений прямокутний трикутник $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) вписано квадрат $CKLM$ так, що прямий кут у них спільний, а точка $L$ належить гіпотенузі $AB$. Катет трикутника дорівнює $4\text{ см}$. Знайдіть периметр квадрата.

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз властивостей заданого трикутника
За умовою $△ABC$ — прямокутний і рівнобедрений з прямим кутом при вершині $C$ ($\angle C=90^{\circ }$), отже, його катети рівні:
$AC=BC=4\text{ см}$
Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює $90^{\circ }$, а кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, маємо:
$\angle A=\angle B=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$

2. Визначення довжини сторони квадрата
Нехай довжина сторони квадрата $CKLM$ дорівнює $x\text{ см}$.
За означенням квадрата:
$CK=KL=LM=MC=x\text{ см}$
Кути квадрата дорівнюють $90^{\circ }$, тому $KL\perp AC$ і $LM\perp BC$.

Розглянемо трикутник $AKL$:

• $\angle AKL=90^{\circ }$, оскільки $KL\perp AC$;
• $\angle A=45^{\circ }$.

Звідси знаходимо третій кут трикутника:
$\angle ALK=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$
Оскільки $\angle A=\angle ALK=45^{\circ }$, трикутник $AKL$ є прямокутним і рівнобедреним з рівними катетами:
$AK=KL=x\text{ см}$

3. Знаходження сторони квадрата через катет трикутника
Точка $K$ належить катету $AC$, тому:
$AC=AK+KC$
Підставимо значення довжин відрізків у формулу:
$x+x=4$
$2\cdot x=4$
$x=\frac{4}{2}=2\text{ см}$
Отже, сторона вписаного квадрата дорівнює $2\text{ см}$.

4. Обчислення периметра квадрата
Периметр квадрата дорівнює сумі чотирьох його сторін:
$P=4\cdot x=4\cdot 2=8\text{ см}$

Відповідь:
$8\text{ см}$