Завдання № 27.8. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на $5 см$ і $7 см$ . Знайдіть відстань від площини до середини відрізка.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична інтерпретація та побудова
Нехай дано площину $α$ та відрізок $A B$ , який її не перетинає.
Точка $M$ — середина відрізка $A B$ , тобто $A M = M B$ .

Відстанню від точки до площини є довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину:

$A A_{1} ⊥ α$ , отже, $A A_{1} = 5 см$ ;
$B B_{1} ⊥ α$ , отже, $B B_{1} = 7 см$ ;
$M M_{1} ⊥ α$ , довжину відрізка $M M_{1}$ необхідно знайти.

2. Обґрунтування виду утвореної фігури
За ознакою паралельності прямих у просторі: якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то вони паралельні між собою.

A A_{1} ⊥ α та B B_{1} ⊥ α ⟹ A A_{1} ∥ B B_{1}

Оскільки прямі $A A_{1}$ та $B B_{1}$ паралельні, вони лежать в одній площині. Чотирикутник $A A_{1} B_{1} B$ лежить у цій площині, має дві паралельні сторони різної довжини ( $A A_{1} ∥ B B_{1}$ та $A A_{1} \neq = B B_{1}$ ), отже, є трапецією з основами $A A_{1}$ та $B B_{1}$ . Оскільки $A A_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ , трапеція $A A_{1} B_{1} B$ є прямокутною.

3. Знаходження відстані від середини відрізка
Пряма $M M_{1}$ також перпендикулярна до площини $α$ , тому $M M_{1} ∥ A A_{1} ∥ B B_{1}$ .
У площині трапеції $A A_{1} B_{1} B$ відрізок $M M_{1}$ проходить через середину бічної сторони $A B$ паралельно її основам. За теоремою Фалеса точка $M_{1}$ є серединою відрізка $A_{1} B_{1}$ , а відрізок $M M_{1}$ є середньою лінією трапеції $A A_{1} B_{1} B$ .

За властивістю середньої лінії трапеції, її довжина дорівнює півсумі основ:

M M_{1} = \frac{A A _{1} + B B _{1}}{2}

Підставимо числові значення:

M M_{1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 (см)

Відповідь: $6 см$ .

Завдання № 27.8. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку