Завдання № 27.7. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Прямі $a$ і $b$ паралельні ($a\parallel b$). Пряма $a$ перетинає площину $\alpha$. Яким є взаємне розміщення прямої $b$ і площини $\alpha$?

Покроковий розв’язок:

Взаємне розміщення прямої і площини в просторі має три можливі випадки:

1) Пряма лежить у площині.

2) Пряма паралельна площині.

3) Пряма перетинає площину (має з нею рівно одну спільну точку).

Теорема про паралельні прямі, одна з яких перетинає площину:
Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то й друга пряма також перетинає цю площину.

Доведення (методом від супротивного):

1) Припустимо протилежне: пряма $b$ не перетинає площину $\alpha$. Це означає, що пряма $b$ або лежить у площині $\alpha$, або паралельна їй ($b\parallel \alpha$).

2) Оскільки за умовою прямі $a$ і $b$ паралельні ($a\parallel b$), через них можна провести єдину площину $\beta$.

3) Оскільки пряма $a$ перетинає площину $\alpha$ у деякій точці $P$, площини $\alpha$ і $\beta$ мають спільну точку $P$, отже, вони перетинаються по прямій $c$, яка проходить через точку $P$.

4) Якби пряма $b$ була паралельна площині $\alpha$ або належала їй, то у площині $\beta$ пряма $b$ була б паралельна прямій $c$ ($b\parallel c$). Але через точку $P$ уже проходить пряма $a$, яка за умовою паралельна $b$ ($a\parallel b$). За аксіомою паралельних прямих через точку $P$ можна провести лише одну пряму, паралельну $b$. Отже, прямі $a$ і $c$ повинні збігатися.

5) Збіг прямих $a$ і $c$ означав би, що пряма $a$ цілком лежить у площині $\alpha$ ($a\subset \alpha$). Це суперечить умові, адже пряма $a$ перетинає площину $\alpha$ лише в одній точці.

Отримане протиріччя доводить, що наше припущення було хибним. Отже, пряма $b$ обов’язково перетинає площину $\alpha$.

Відповідь:
Пряма $b$ перетинає площину $\alpha$.