Завдання № 27.6. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Прямі $a$ і $b$ паралельні. Пряма $a$ належить площині $\alpha$. Яким може бути взаємне розміщення прямої $b$ і площини $\alpha$?

Покроковий розв’язок:

У просторі пряма відносно площини може:

1) належати площині;

2) бути паралельною площині;

3) перетинати площину в одній точці.

З’ясуємо, які з цих випадків можливі за умови $a\parallel b$ та $a\subset \alpha$.

1. Дослідження можливості перетину прямої $b$ із площиною $\alpha$
Припустимо від супротивного, що пряма $b$ перетинає площину $\alpha$ у деякій точці $M$.

За означенням паралельних прямих, через $a$ і $b$ можна провести єдину площину $\beta$. Оскільки пряма $a$ належить площині $\alpha$, площини $\alpha$ і $\beta$ мають спільну пряму $a$, тобто перетинаються по прямій $a$ ($\alpha \cap \beta =a$).

Якщо пряма $b$ перетинає площину $\alpha$ в точці $M$, то ця точка належить площині $\alpha$ ($M\in \alpha$) і водночас прямій $b$, яка лежить у площині $\beta$ ($M\in \beta$). Отже, точка $M$ є спільною для площин $\alpha$ та $\beta$, тобто мусить належати їхній лінії перетину — прямій $a$.

Звідси випливає, що точка $M$ належить і прямій $a$, і прямій $b$, тобто прямі $a$ і $b$ перетинаються. Це суперечить умові, що $a\parallel b$.

Отже, пряма $b$ не може перетинати площину $\alpha$.

2. Аналіз можливих випадків розміщення
Залишаються два можливі випадки:

• Випадок 1 ($b$ лежить у площині $\alpha$): пряма $b$ належить площині $\alpha$ ($b\subset \alpha$). Це можливо, якщо через будь-яку точку площини $\alpha$, що не лежить на прямій $a$, проведено пряму $b$, паралельну $a$.
• Випадок 2 ($b$ паралельна площині $\alpha$): пряма $b$ не належить площині $\alpha$. За ознакою паралельності прямої та площини (якщо пряма, яка не належить даній площині, паралельна будь-якій прямій цієї площини, то вона паралельна й самій площині), пряма $b$ паралельна площині $\alpha$ ($b\parallel \alpha$).

Відповідь:
Пряма $b$ або лежить у площині $\alpha$ ($b\subset \alpha$), або паралельна площині $\alpha$ ($b\parallel \alpha$).