Завдання № 27.20. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Сторони прямокутного трикутника утворюють геометричну прогресію зі знаменником $q$, де $q>1$. Знайдіть $q$.

Покроковий розв’язок:

1. Позначення сторін прямокутного трикутника
Нехай перший член геометричної прогресії дорівнює $a$ ($a>0$). Тоді довжини сторін трикутника становлять:
$a$, $a\cdot q$, $a\cdot q^2$.

Оскільки за умовою знаменник геометричної прогресії $q>1$, то виконується нерівність:
$a<a\cdot q<a\cdot q^2$

У будь-якому прямокутному трикутнику найбільшою стороною є гіпотенуза. Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює $a\cdot q^2$, а катети відповідно дорівнюють $a$ та $a\cdot q$.

2. Застосування теореми Піфагора
За теоремою Піфагора сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:
$a^2+(a\cdot q{)}^2=(a\cdot q^2{)}^2$
$a^2+a^2\cdot q^2=a^2\cdot q^4$

Поділимо обидві частини рівності на $a^2$ (оскільки довжина сторони $a\ne 0$):
$1+q^2=q^4$
$q^4-q^2-1=0$

3. Розв’язання біквадратного рівняння
Введемо заміну змінної: нехай $t=q^2$. Оскільки $q>1$, то $t>1$.
Отримуємо квадратне рівняння відносно $t$:
$t^2-t-1=0$

Знайдемо дискримінант рівняння:
$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=1+4=5$

Корені квадратного рівняння:
$t=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Оскільки $t>1$, від’ємний корінь $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$ не задовольняє умову.
Отже, підходить тільки корінь:
$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

4. Знаходження знаменника $q$
Повернемося до заміни змінної:
$q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Враховуючи, що за умовою $q>1$, маємо:
$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

Відповідь: $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$