Завдання № 27.2. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

$ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ — прямокутний паралелепіпед (мал. 27.7). Назвіть дві прямі:

1) паралельні площині $\alpha$;

2) які лежать у площині $\alpha$;

3) перпендикулярні до площини $\alpha$.

Покроковий розв’язок:

За малюнком 27.7 площина $\alpha$ містить нижню основу прямокутного паралелепіпеда — чотирикутник $ABCD$, тобто площина нижньої основи збігається з площиною $\alpha$.

1. Прямі, паралельні площині $\alpha$
За ознакою паралельності прямої та площини, якщо пряма, яка не лежить у даній площині, паралельна будь-якій прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині.
У прямокутному паралелепіпеді протилежні грані паралельні, отже, будь-яка пряма, що містить ребро верхньої основи $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, паралельна площині нижньої основи $\alpha$.
Наприклад:

• пряма $A_1{B}_1\parallel AB$, де $AB\subset \alpha$, отже, $A_1{B}_1\parallel \alpha$;
• пряма $B_1{C}_1\parallel BC$, де $BC\subset \alpha$, отже, $B_1{C}_1\parallel \alpha$.

Таким чином, шуканими можуть бути прямі $A_1{B}_1$ та $B_1{C}_1$ (також підходять $C_1{D}_1$ і $D_1{A}_1$).

2. Прямі, які лежать у площині $\alpha$
Оскільки всі вершини нижньої основи ($A$, $B$, $C$, $D$) належать площині $\alpha$, то за аксіомою стереометрії будь-яка пряма, що проходить через будь-які дві з цих точок, повністю лежить у площині $\alpha$.
Наприклад, це прямі, які містять ребра нижньої основи: $AB$ та $BC$ (а також $CD$, $DA$, діагоналі $AC$ та $BD$).

3. Прямі, перпендикулярні до площини $\alpha$
За властивістю прямокутного паралелепіпеда всі бічні ребра перпендикулярні до площин його основ. Оскільки основа $ABCD$ лежить у площині $\alpha$, кожне бічне ребро перпендикулярне до площини $\alpha$.
Отже, прямими, перпендикулярними до площини $\alpha$, є прямі, що містять бічні ребра: наприклад, $A{A}_1$ та $B{B}_1$ (а також $C{C}_1$ і $D{D}_1$).

Відповідь:

1) $A_1{B}_1$, $B_1{C}_1$;

2) $AB$, $BC$;

3) $A{A}_1$, $B{B}_1$.