Завдання № 27.18. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює бічній стороні трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо його основа дорівнює $a$.

Покроковий розв’язок:

1. Використання формули площі через радіус описаного кола

Нехай у рівнобедреному трикутнику $ABC$ основа $AC=a$, а бічні сторони $AB=BC=b$. Радіус описаного кола позначимо через $R$.

За умовою задачі радіус описаного кола дорівнює бічній стороні:
$R=b$

Площу трикутника можна обчислити за формулою:
$S=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}$

Оскільки сторони трикутника дорівнюють $a$, $b$ та $b$, а $R=b$, підставимо ці дані:
$S=\frac{a\cdot b\cdot b}{4b}=\frac{a\cdot b}{4}$

2. Вираження площі через висоту трикутника

Проведемо висоту $h$ до основи $AC$. Оскільки трикутник рівнобедрений, ця висота є також медіаною, тому вона ділить основу навпіл:
$AH=HC=\frac{a}{2}$

За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника $ABH$:
$h=\sqrt{b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$

Тоді площа трикутника через основу та висоту дорівнює:
$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$

3. Знаходження залежності між $b$ та $a$

Прирівняємо обидва вирази для площі трикутника:
$\frac{a\cdot b}{4}=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$

Поділимо обидві частини рівності на $\frac{a}{2}$ (оскільки $a\ne 0$):
$\frac{b}{2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:
$\frac{b^2}{4}=b^2-\frac{a^2}{4}$

Перенесемо доданки:
$\frac{a^2}{4}=b^2-\frac{b^2}{4}$
$\frac{a^2}{4}=\frac{3\cdot b^2}{4}$

Звідси:
$a^2=3\cdot b^2⟹b^2=\frac{a^2}{3}⟹b=\frac{a}{\sqrt{3}}$

4. Обчислення площі трикутника

Підставимо отримане значення $b$ у формулу площі $S=\frac{a\cdot b}{4}$:
$S=\frac{a\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}{4}=\frac{a^2}{4\sqrt{3}}$

Позбудемося ірраціональності в знаменнику, помноживши чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$:
$S=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

Відповідь: $\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$