Завдання № 27.17. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють $16 см$ і $6 см$ , а гострий кут — $6 0^{\circ}$ . Знайдіть діагональ трапеції та її площу.

Покроковий розв’язок:

Нехай дано рівнобічну трапецію $A B C D$ , у якій $B C ∥ A D$ , $A B = C D$ , $B C = 6 см$ , $A D = 16 см$ , а гострий кут при основі $∠ A = 6 0^{\circ}$ .

1. Проведення висот та знаходження відрізків нижньої основи

Проведемо висоти $B K ⊥ A D$ та $C M ⊥ A D$ .

Оскільки $B C ∥ A D$ і $B K ⊥ A D$ , $C M ⊥ A D$ , чотирикутник $K B C M$ є прямокутником, отже:
$K M = B C = 6 см$

Прямокутні трикутники $△ A B K$ та $△ D C M$ рівні за гіпотенузою та гострим кутом ( $A B = C D$ , $∠ A = ∠ D = 6 0^{\circ}$ як кути при основі рівнобічної трапеції). З рівності цих трикутників випливає:
$A K = M D = \frac{A D - B C}{2} = \frac{16 - 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 см$

Обчислимо довжину відрізка $K D$ :
$K D = A D - A K = 16 - 5 = 11 см$

2. Знаходження висоти трапеції

Розглянемо прямокутний трикутник $△ A B K$ ( $∠ B K A = 9 0^{\circ}$ ). За означенням тангенса гострого кута:
$tg ∠ A = \frac{B K}{A K}$

Звідси знайдемо висоту $B K$ :
$B K = A K \cdot tg 6 0^{\circ} = 5 \cdot 3 = 53 см$

3. Обчислення довжини діагоналі

Розглянемо прямокутний трикутник $△ B K D$ ( $∠ B K D = 9 0^{\circ}$ ). За теоремою Піфагора:
$B D^{2} = B K^{2} + K D^{2}$

Підставимо знайдені значення:
$B D^{2} = (53)^{2} + 1 1^{2} = 25 \cdot 3 + 121 = 75 + 121 = 196$
$B D = 196 = 14 см$

4. Обчислення площі трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
$S = \frac{A D + B C}{2} \cdot B K$
$S = \frac{16 + 6}{2} \cdot 53 = \frac{22}{2} \cdot 53 = 11 \cdot 53 = 553 см^{2}$

Відповідь: $14 см$ , $553 см^{2}$ .

Завдання № 27.17. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку