Завдання № 27.16. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Вершини $M, N$ і $K$ квадрата $M N K L$ розміщені від площини $β$ , яка не перетинає площину квадрата, відповідно на відстанях $1 см$ , $4 см$ і $9 см$ . На яких відстанях від площини розміщені точка перетину діагоналей квадрата і вершина $L$ ?

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична інтерпретація та властивості діагоналей

Нехай $O$ — точка перетину діагоналей квадрата $M N K L$ . За властивістю квадрата діагоналі $M K$ і $N L$ точкою перетину діляться навпіл, тобто точка $O$ є спільною серединою відрізків $M K$ та $N L$ .

Оскільки площина $β$ не перетинає площину квадрата, усі вершини фігури розташовані в одному півпросторі відносно площини $β$ .

Опустимо перпендикуляри з вершин $M, N, K, L$ та точки $O$ на площину $β$ . Позначимо їхні основи відповідно як $M_{1}, N_{1}, K_{1}, L_{1}$ та $O_{1}$ . За умовою:

$M M_{1} = 1 см$ ;
$N N_{1} = 4 см$ ;
$K K_{1} = 9 см$ .

Довжини цих перпендикулярів є відстанями від відповідних точок до площини $β$ .

2. Знаходження відстані від точки перетину діагоналей до площини

Прямі $M M_{1}$ і $K K_{1}$ перпендикулярні до однієї площини $β$ , отже, вони паралельні між собою:
$M M_{1} ∥ K K_{1}$

Через дві паралельні прямі $M M_{1}$ і $K K_{1}$ проходить єдина площина, яка містить відрізок $M K$ та його проекцію $M_{1} K_{1}$ . У цій площині чотирикутник $M M_{1} K_{1} K$ є прямокутною трапецією з основами $M M_{1}$ та $K K_{1}$ .

Оскільки відрізок $O O_{1} ⊥ β$ , пряма $O O_{1}$ паралельна основам трапеції:
$O O_{1} ∥ M M_{1} ∥ K K_{1}$

Точка $O$ є серединою бічної сторони $M K$ . За теоремою Фалеса пряма $O O_{1}$ ділить другу бічну сторону $M_{1} K_{1}$ навпіл, а отже, $O O_{1}$ є середньою лінією трапеції $M M_{1} K_{1} K$ .

За властивістю середньої лінії трапеції:
$O O_{1} = \frac{M M _{1} + K K _{1}}{2}$

Підставимо відомі числові значення:
$O O_{1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 см$

Отже, відстань від точки перетину діагоналей $O$ до площини $β$ дорівнює $5 см$ .

3. Знаходження відстані від вершини $L$ до площини

Розглянемо діагональ $N L$ та відповідні перпендикуляри $N N_{1}$ і $L L_{1}$ .

Аналогічно, оскільки $N N_{1} ⊥ β$ та $L L_{1} ⊥ β$ , маємо $N N_{1} ∥ L L_{1}$ . Чотирикутник $N N_{1} L_{1} L$ є прямокутною трапецією з основами $N N_{1}$ і $L L_{1}$ .

Оскільки $O$ — середина сторони $N L$ , а $O O_{1} ∥ N N_{1} ∥ L L_{1}$ , то відрізок $O O_{1}$ є середньою лінією трапеції $N N_{1} L_{1} L$ :
$O O_{1} = \frac{N N _{1} + L L _{1}}{2}$

Підставимо відомі значення $O O_{1} = 5 см$ та $N N_{1} = 4 см$ :
$5 = \frac{4 + L L _{1}}{2}$

Помножимо обидві частини рівняння на $2$ :
$10 = 4 + L L_{1}$
$L L_{1} = 10 - 4 = 6 см$

Отже, відстань від вершини $L$ до площини $β$ дорівнює $6 см$ .

Відповідь: $5 см$ і $6 см$ .

Завдання № 27.16. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку