Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
Вершини , і прямокутника розміщені від площини , яка не перетинає площину прямокутника, відповідно на відстанях , і . На яких відстанях від цієї площини розміщені точка перетину діагоналей прямокутника і вершина ?
Покроковий розв’язок:
1. Геометричне обґрунтування для точки перетину діагоналей
Нехай та — ортогональні проекції вершин та точки перетину діагоналей на площину відповідно. Тоді довжини перпендикулярів дорівнюють відстаням від відповідних точок до площини:
За властивістю прямокутника, точка перетину діагоналей є серединою кожної з його діагоналей і :
Прямі та перпендикулярні до площини , отже, вони паралельні між собою () і лежать в одній площині. Оскільки площина прямокутника не перетинає площину , чотирикутник є прямокутною трапецією з основами і .
Оскільки пряма , вона паралельна основам трапеції (), а точка — середина бічної сторони . За теоремою Фалеса відрізок є середньою лінією трапеції .
2. Обчислення відстані від точки до площини
Довжина середньої лінії трапеції дорівнює півсумі основ:
Підставимо відомі значення:
3. Обчислення відстані від вершини до площини
Аналогічно розглянемо чотирикутник . Прямі та перпендикулярні до площини , отже, . Чотирикутник є прямокутною трапецією з основами і .
Точка є серединою відрізка , тому відрізок є середньою лінією трапеції :
Виразимо шукану відстань :
Підставимо знайдене значення та задане :
Відповідь:
, .