Завдання № 27.14. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Чи можна стверджувати, що пряма, паралельна даній площині, паралельна нескінченній кількості прямих цієї площини?

Покроковий розв’язок:

1. Аналіз означення та властивостей взаємного розміщення прямої та площини

Нехай задано площину $\alpha$ та пряму $a$, яка паралельна цій площині ($a\parallel \alpha$). За означенням паралельності прямої та площини, вони не мають спільних точок, тобто жодна точка прямої $a$ не належить площині $\alpha$.

Згідно з властивістю прямої, паралельної площині: якщо площина проходить через пряму, яка паралельна іншій площині, і перетинає цю площину, то лінія перетину площин паралельна даній прямій.

2. Доведення існування нескінченної кількості паралельних прямих

Візьмемо в площині $\alpha$ довільну точку $M$. Оскільки $a\parallel \alpha$, точка $M$ не лежить на прямій $a$.

Через пряму $a$ і точку $M$, що не належить їй, можна провести єдину площину $\beta$. Площина $\beta$ перетинає площину $\alpha$ по деякій прямій $b$, яка проходить через точку $M$.

Оскільки пряма $a$ паралельна площині $\alpha$, а площина $\beta$ містить пряму $a$ і перетинає $\alpha$ по прямій $b$, то за властивістю паралельності прямої та площини маємо:
$a\parallel b$
де $b\subset \alpha$.

Оскільки площина $\alpha$ містить нескінченну кількість точок, і через кожну точку площини $\alpha$ можна провести відповідну січну площину, то в площині $\alpha$ існує безліч різних прямих, кожна з яких є паралельною прямій $a$.

Отже, твердження є правильним.

Відповідь:
Так, можна.