Назад до розділу • Головний зміст
Умова:
З точки до площини проведено дві похилі, сума довжин яких дорівнює . Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до площини, якщо проєкції цих похилих дорівнюють і .
Покроковий розв’язок:
1. Введення позначень та геометрична модель
Нехай з точки до заданої площини проведено перпендикуляр та дві похилі і .
- Довжина перпендикуляра — це шукана відстань від точки до площини (, ).
- та — проєкції похилих та відповідно: , .
- Позначимо довжини похилих: , .
За умовою задачі сума довжин похилих становить:
2. Застосування теореми Піфагора
Перпендикуляр утворює з проєкціями два прямокутні трикутники: та ().
За теоремою Піфагора:
- З прямокутного трикутника :
- З прямокутного трикутника :
3. Складання та розв’язання системи рівнянь
Оскільки квадрат висоти є спільним для обох трикутників, прирівняємо отримані вирази:
Розкладемо ліву частину за формулою різниці квадратів:
Підставимо відоме значення суми :
Маємо лінійну систему рівнянь:
Додамо обидва рівняння системи:
Знайдемо довжину другої похилої:
4. Знаходження відстані від точки до площини
Підставимо отримане значення у вираз для :
Отже, довжини похилих дорівнюють та , а відстань від точки до площини становить .
Відповідь: , , .