Завдання № 27.11. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких дорівнюють $5 см$ і $7 см$ , а різниця їхніх проєкцій на цю площину становить $4 см$ . Знайдіть довжини проєкцій похилих та відстань від даної точки до площини.

Покроковий розв’язок:

1. Геометрична модель задачі

Нехай з точки $A$ , що не належить площині $α$ , проведено перпендикуляр $A H$ до цієї площини. Тоді довжина відрізка $A H = h$ є шуканою відстанню від точки $A$ до площини $α$ .

З точки $A$ також проведено дві похилі:

$A B = 5 см$ ;
$A C = 7 см$ .

Відрізки $B H = x_{1}$ та $C H = x_{2}$ , що сполучають основу перпендикуляра з основами похилих, є проєкціями похилих $A B$ та $A C$ відповідно на площину $α$ .

2. Застосування теореми Піфагора

За властивістю похилих і проєкцій, більшій похилій відповідає більша проєкція. Оскільки $A C > A B$ ( $7 см > 5 см$ ), то $x_{2} > x_{1}$ .

За умовою задачі різниця проєкцій дорівнює $4 см$ :
$x_{2} - x_{1} = 4$

Розглянемо прямокутні трикутники $△ A H B$ та $△ A H C$ ( $∠ A H B = ∠ A H C = 9 0^{\circ}$ , оскільки $A H ⊥ α$ ):

1) Із $△ A H B$ за теоремою Піфагора:
$A H^{2} + B H^{2} = A B^{2} ⟹ h^{2} + x_{1}^{2} = 5^{2} = 25$

2) Із $△ A H C$ за теоремою Піфагора:
$A H^{2} + C H^{2} = A C^{2} ⟹ h^{2} + x_{2}^{2} = 7^{2} = 49$

3. Знаходження проєкцій похилих

Віднімемо перше рівняння від другого:
$(h^{2} + x_{2}^{2}) - (h^{2} + x_{1}^{2}) = 49 - 25$
$x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = 24$

Розкладемо різницю квадратів на множники:
$(x_{2} - x_{1}) \cdot (x_{2} + x_{1}) = 24$

Підставимо відоме значення $x_{2} - x_{1} = 4$ :
$4 \cdot (x_{2} + x_{1}) = 24$
$x_{2} + x_{1} = \frac{24}{4} = 6$

Складемо та розв’яжемо систему лінійних рівнянь методом додавання:

{x_{2} + x_{1} = 6 x_{2} - x_{1} = 4

Додамо ліві та праві частини рівнянь:
$2 \cdot x_{2} = 10 ⟹ x_{2} = 5 см$

Знайдемо довжину меншої проєкції:
$x_{1} = 6 - x_{2} = 6 - 5 = 1 см$

4. Знаходження відстані від точки до площини

Підставимо знайдене значення $x_{1} = 1 см$ у вираз для прямокутного трикутника $△ A H B$ :
$h^{2} + 1^{2} = 25$
$h^{2} = 25 - 1 = 24$
$h = 24 = 4 \cdot 6 = 26 см$

Відповідь: проєкції похилих дорівнюють $1 см$ і $5 см$ , відстань від точки до площини становить $26 см$ .

Завдання № 27.11. § 27. Взаємне розміщення прямої і площини. Перпендикуляр до площини (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку