Завдання № 26. Задачі підвищеної складності (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Доведіть за допомогою векторів, що три висоти трикутника (або їхні продовження) перетинаються в одній точці.

Покроковий розв’язок:

Нехай у довільному трикутнику $ABC$ проведено дві висоти $BK$ та $CM$ (де $BK\perp AC$, а $CM\perp AB$), які перетинаються в точці $O$.

Доведемо, що пряма $AO$ також перпендикулярна до сторони $BC$. Якщо це так, то висота, проведена з вершини $A$, обов’язково проходить через точку $O$, а отже, всі три висоти трикутника перетинаються в одній точці.

1. Введення векторів з початком у точці $O$

Приймемо точку $O$ (точку перетину двох висот) за початок відліку. Позначимо радіус-вектори вершин трикутника:
$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$

Тоді вектори сторін трикутника через вектори вершин виражаються так:
$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
$\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$
$\overrightarrow{CA}=\vec{a}-\vec{c},\text{або}\overrightarrow{AC}=\vec{c}-\vec{a}$

2. Застосування умови перпендикулярності для перших двох висот

Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

• Оскільки відрізок $OB$ лежить на висоті $BK$, то $OB\perp AC$, звідки $\overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{AC}$:
  $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$
  $\vec{b}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$
  $\vec{b}\cdot \vec{c}-\vec{b}\cdot \vec{a}=0⟹\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{b}\text{(рівність 1)}$

• Оскільки відрізок $OC$ лежить на висоті $CM$, то $OC\perp AB$, звідки $\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{AB}$:
  $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$
  $\vec{c}\cdot (\vec{b}-\vec{a})=0$
  $\vec{c}\cdot \vec{b}-\vec{c}\cdot \vec{a}=0⟹\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}\text{(рівність 2)}$

Порівнюючи рівності (1) та (2), маємо:
$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$

3. Доведення перпендикулярності третьої висоти

Розглянемо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{OA}$ та $\overrightarrow{BC}$:
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\vec{a}\cdot (\vec{c}-\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{c}-\vec{a}\cdot \vec{b}$

Оскільки $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}$, їхня різниця дорівнює нулю:
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю і вектори $\overrightarrow{OA}$ та $\overrightarrow{BC}$ ненульові, пряма $OA$ перпендикулярна до прямої $BC$ ($OA\perp BC$).

Це означає, що висота, проведена з вершини $A$ (або її продовження), також проходить через точку $O$.

Отже, всі три висоти трикутника (або їхні продовження) перетинаються в одній спільній точці $O$ (ортоцентрі трикутника).

Відповідь:
Твердження доведено: скалярний добуток $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, отже, $OA\perp BC$, і всі три висоти перетинаються в одній точці.