Завдання № 26. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Прямі $A C$ і $B D$ — осі симетрії чотирикутника $A B C D$ . Доведіть, що $A B C D$ — ромб.

Покроковий розв’язок:

Нехай точка $O$ — точка перетину прямих $A C$ і $B D$ .

1. Властивості симетрії відносно прямої $A C$ :
За означенням осьової симетрії, кожна точка фігури при симетрії відносно осі повинна переходити в точку цієї ж фігури.
Вершини $A$ та $C$ лежать на прямій $A C$ , тому вони переходять самі в себе.
Вершина $B$ не лежить на осі $A C$ , отже, симетричною їй вершиною чотирикутника може бути лише точка $D$ .
Звідси випливає:

пряма $A C$ перпендикулярна до відрізка $B D$ , тобто $A C ⊥ B D$ ;
пряма $A C$ ділить відрізок $B D$ навпіл, тобто $B O = O D$ ;
кожна точка осі симетрії рівновіддалена від симетричних точок $B$ і $D$ , отже, $A B = A D$ та $C B = C D$ .

2. Властивості симетрії відносно прямої $B D$ :
Вершини $B$ і $D$ належать осі симетрії $B D$ , тому вони нерухомі.
Вершина $A$ не належить прямій $B D$ , отже, при симетрії відносно прямої $B D$ вона відображається у вершину $C$ .
Звідси маємо:

пряма $B D$ ділить відрізок $A C$ навпіл, тобто $A O = O C$ ;
кожна точка осі симетрії $B D$ рівновіддалена від точок $A$ і $C$ , отже, $B A = B C$ та $D A = D C$ .

3. Доведення того, що $A B C D$ — ромб:

Оскільки $A O = O C$ та $B O = O D$ , діагоналі чотирикутника $A B C D$ перетинаються й точкою перетину діляться навпіл. За ознакою паралелограма чотирикутник $A B C D$ є паралелограмом.
Оскільки $A B = B C = C D = D A$ (усі сторони рівні між собою), а також його діагоналі взаємно перпендикулярні ( $A C ⊥ B D$ ), за ознакою ромба паралелограм $A B C D$ є ромбом.

Відповідь:
Доведено, що чотирикутник $A B C D$ є ромбом.

Завдання № 26. Вправи для повторення розділу 5 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку