Завдання № 26. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:

Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють $102 см$ і $103 см$ , а радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює $10 см$ . Знайдіть кути трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Застосування теореми синусів

Нехай у трикутнику задано сторони $a = 102 см$ , $b = 103 см$ , а протилежні їм кути дорівнюють відповідно $α$ та $β$ . Третій кут трикутника позначимо через $γ$ . Радіус описаного кола $R = 10 см$ .

За узагальненою теоремою синусів відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу описаного навколо нього кола:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

2. Обчислення кута $α$

Виразимо синус кута $α$ через сторону $a$ та радіус $R$ :

\frac{a}{sin α} = 2 R ⟹ sin α = \frac{a}{2 R}

Підставимо числові значення:

sin α = \frac{10 2}{2 \cdot 10} = \frac{10 2}{20} = \frac{2}{2}

Рівняння $sin α = \frac{2}{2}$ для кутів трикутника має два розв’язки: $α = 4 5^{\circ}$ або $α = 13 5^{\circ}$ . Оскільки за умовою задачі трикутник є гострокутним (усі його кути менші від $9 0^{\circ}$ ), тупий кут не підходить:

α = 4 5^{\circ}

3. Обчислення кута $β$

Аналогічно знайдемо синус другого кута:

\frac{b}{sin β} = 2 R ⟹ sin β = \frac{b}{2 R}

Підставимо значення:

sin β = \frac{10 3}{2 \cdot 10} = \frac{10 3}{20} = \frac{3}{2}

Оскільки трикутник гострокутний, кут $β < 9 0^{\circ}$ :

β = 6 0^{\circ}

4. Знаходження третього кута $γ$

За теоремою про суму кутів трикутника, сума всіх його внутрішніх кутів дорівнює $18 0^{\circ}$ :

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Звідси:

γ = 18 0^{\circ} - (α + β) = 18 0^{\circ} - (4 5^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

Усі знайдені кути ( $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$ ) є гострими, що повністю відповідає умові задачі.

Відповідь:
$4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$ .

Завдання № 26. Вправи для повторення розділу 3 (Геометрія 9 клас Істер)

Теги статті:

До уроку