Завдання № 26. Вправи для повторення розділу 2 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
$ABCD$ — ромб (мал. 4), $O$ — точка перетину його діагоналей. Виразіть вектори $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{CD}$ через вектори $\overrightarrow{AO}=\vec{a}$ і $\overrightarrow{BO}=\vec{b}$.

Покроковий розв’язок:

1. Властивості діагоналей ромба та співвідношення векторів
За властивістю паралелограма (і ромба як його окремого випадку), діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, точка $O$ є спільною серединою відрізків $AC$ та $BD$.
Звідси випливає рівність відповідних векторів, що лежать на одній прямій і мають однакову довжину та напрямок:

• оскільки $O$ — середина відрізка $AC$, то $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}=\vec{a}$;
• оскільки $O$ — середина відрізка $BD$, то $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}=\vec{b}$.

Вектор $\overrightarrow{CO}$ є протилежним до вектора $\overrightarrow{OC}$, тому:
$\overrightarrow{CO}=-\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$

2. Вираження вектора $\overrightarrow{BC}$
За правилом трикутника для додавання векторів:
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}$

Підставимо відомі вирази векторів:
$\overrightarrow{BC}=\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}+\vec{b}$

3. Вираження вектора $\overrightarrow{CD}$
За правилом трикутника для додавання векторів:
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}$

Підставимо відповідні вирази:
$\overrightarrow{CD}=-\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}-\vec{a}$

(Цей самий результат можна отримати за правилом віднімання векторів, що мають спільний початок у точці $O$: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\vec{b}-\vec{a}$).

Відповідь: $\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{CD}=\vec{b}-\vec{a}$.