Завдання № 26. Вправи для повторення розділу 1 (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Визначте вид трикутника $ABC$ за сторонами (рівнобедрений, рівносторонній чи різносторонній), якщо:

1) $A(1;4)$, $B(2;8)$, $C(-3;5)$;

2) $A(-2;0)$, $B(4;0)$, $C(1;3\sqrt{3})$;

3) $A(2;3)$, $B(-3;1)$, $C(4;5)$.

Покроковий розв’язок:

Для визначення виду трикутника за сторонами обчислимо довжини всіх його сторін за формулою відстані між двома точками $M(x_1;y_1)$ і $N(x_2;y_2)$:
$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

1. Дослідження трикутника $ABC$ з вершинами $A(1;4)$, $B(2;8)$, $C(-3;5)$

Знайдемо довжини сторін:

• $AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(8-4{)}^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$
• $BC=\sqrt{(-3-2{)}^2+(5-8{)}^2}=\sqrt{(-5{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$
• $AC=\sqrt{(-3-1{)}^2+(5-4{)}^2}=\sqrt{(-4{)}^2+1^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$

Оскільки $AB=AC=\sqrt{17}$, а сторона $BC=\sqrt{34}$ відмінна від них, дві сторони трикутника рівні між собою. Отже, за означенням, $△ABC$ — рівнобедрений з основою $BC$.

2. Дослідження трикутника $ABC$ з вершинами $A(-2;0)$, $B(4;0)$, $C(1;3\sqrt{3})$

Знайдемо довжини сторін:

• $AB=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{6^2+0^2}=\sqrt{36}=6$
• $BC=\sqrt{(1-4{)}^2+(3\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+3^2\cdot 3}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$
• $AC=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(3\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{3^2+3^2\cdot 3}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$

Оскільки всі три сторони рівні між собою ($AB=BC=AC=6$), за означенням, $△ABC$ — рівносторонній.

3. Дослідження трикутника $ABC$ з вершинами $A(2;3)$, $B(-3;1)$, $C(4;5)$

Знайдемо довжини сторін:

• $AB=\sqrt{(-3-2{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{(-5{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$
• $BC=\sqrt{(4-(-3){)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$
• $AC=\sqrt{(4-2{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Усі три сторони мають різну довжину ($AB\ne BC\ne AC$). Отже, за означенням, $△ABC$ — різносторонній.

Відповідь:

1) рівнобедрений;

2) рівносторонній;

3) різносторонній.