Завдання № 26. Повторюємо геометрію за 8 клас (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Один з кутів паралелограма на $40^{\circ }$ більший за інший. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута.

Покроковий розв’язок:

1. Знайдемо кути паралелограма
Нехай дано паралелограм $ABCD$, у якого кут $A$ — гострий, а кут $B$ — тупий.
За властивістю паралелограма, сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$:
$\angle A+\angle B=180^{\circ }$

Нехай градусна міра кута $A$ дорівнює $x$, тоді за умовою задачі градусна міра тупого кута $B$ дорівнює $x+40^{\circ }$.
Складемо та розв’яжемо рівняння:
$x+(x+40^{\circ })=180^{\circ }$
$2x+40^{\circ }=180^{\circ }$
$2x=180^{\circ }-40^{\circ }$
$2x=140^{\circ }$
$x=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$

Отже, кути паралелограма дорівнюють:

• $\angle A=70^{\circ }$;
• $\angle B=70^{\circ }+40^{\circ }=110^{\circ }$;
• $\angle D=\angle B=110^{\circ }$ (як протилежні кути паралелограма).

2. Знайдемо кут між висотами
З вершини тупого кута $B$ проведено висоти:

• $BK\perp AD$ (отже, $\angle BKD=90^{\circ }$);
• $BN\perp CD$ (отже, $\angle BND=90^{\circ }$).

Розглянемо чотирикутник $KBND$.
Сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника становить $360^{\circ }$:
$\angle KBN+\angle BND+\angle NDK+\angle BKD=360^{\circ }$

Підставимо відомі значення величин кутів:
$\angle KBN+90^{\circ }+110^{\circ }+90^{\circ }=360^{\circ }$
$\angle KBN+290^{\circ }=360^{\circ }$
$\angle KBN=360^{\circ }-290^{\circ }=70^{\circ }$

(Зауваження: кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, завжди дорівнює гострому куту цього паралелограма: $\angle KBN=\angle A=70^{\circ }$).

Відповідь:
$70^{\circ }$