Завдання № 26.22. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:
Один із кутів трикутника дорівнює $120^{\circ }$, а довжини його сторін утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть відношення сторін трикутника.

Покроковий розв’язок:

1. Визначення сторін через елементи арифметичної прогресії

Нехай довжини сторін трикутника утворюють зростаючу арифметичну прогресію:
$a,a+d,a+2d$
де $a>0$ — перший член прогресії, а $d>0$ — її різниця.

За властивістю трикутника проти більшого кута лежить більша сторона. Оскільки кут $120^{\circ }$ є тупим, він є найбільшим кутом у трикутнику. Отже, найбільша сторона трикутника, яка дорівнює $a+2d$, лежить саме навпроти кута $120^{\circ }$, а дві інші сторони, прилеглі до нього, дорівнюють $a$ та $a+d$.

2. Застосування теореми косинусів

За теоремою косинусів для сторони, що лежить навпроти кута $120^{\circ }$:
$(a+2d{)}^2=a^2+(a+d{)}^2-2\cdot a\cdot (a+d)\cdot \cos 120^{\circ }$

Враховуючи, що $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$, отримаємо:
$-2\cdot a\cdot (a+d)\cdot \cos 120^{\circ }=-2\cdot a\cdot (a+d)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=a(a+d)=a^2+ad$

Розкриємо дужки у лівій та правій частинах рівняння:
$a^2+4ad+4d^2=a^2+(a^2+2ad+d^2)+a^2+ad$
$a^2+4ad+4d^2=3a^2+3ad+d^2$

Перенесемо всі доданки в один бік:
$3a^2+3ad+d^2-a^2-4ad-4d^2=0$
$2a^2-ad-3d^2=0$

3. Знаходження співвідношення між $a$ та $d$

Оскільки $d>0$, поділимо обидві частини однорідного рівняння на $d^2$:
$2\cdot {\left(\frac{a}{d}\right)}^2-\frac{a}{d}-3=0$

Введемо заміну $x=\frac{a}{d}$, де $x>0$:
$2x^2-x-3=0$

Знайдемо корені квадратного рівняння через дискримінант:
$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=1+24=25$
$x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm 5}{4}$

Звідси маємо:
$x_1=\frac{1+5}{4}=\frac{6}{4}=1,5$
$x_2=\frac{1-5}{4}=-1(\text{не задовольняє умову, оскільки }x>0)$

Отже, $\frac{a}{d}=1,5$, тобто:
$a=1,5d$

4. Знаходження відношення сторін

Виразимо всі три сторони через різницю $d$:
$a=1,5d$
$a+d=1,5d+d=2,5d$
$a+2d=1,5d+2d=3,5d$

Запишемо шукане відношення сторін:
$a:(a+d):(a+2d)=1,5d:2,5d:3,5d=1,5:2,5:3,5$

Помноживши кожен член відношення на $2$, зведемо його до цілих чисел:
$3:5:7$

Відповідь:
$3:5:7$