Завдання № 26.20. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Назад до розділу • Головний зміст

Умова:

Кут, утворений медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює $\alpha$. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює $c$.

Покроковий розв’язок:

Нехай у прямокутному трикутнику $△ABC$ кут $\angle C=90^{\circ }$, а гіпотенуза $AB=c$. З вершини прямого кута $C$ проведено медіану $CM$ та висоту $CN$ ($CN\perp AB$). За умовою $\angle MCN=\alpha$.

1. Властивість медіани прямокутного трикутника

За властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, її довжина дорівнює половині гіпотенузи:
$CM=AM=MB=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}$

Оскільки $AM=CM$, трикутник $△AMC$ є рівнобедреним з основою $AC$. Звідси випливає рівність кутів при його основі:
$\angle A=\angle ACM$

2. Визначення гострих кутів прямокутного трикутника

Розглянемо прямокутний трикутник $△CMN$ ($\angle CNM=90^{\circ }$, оскільки $CN\perp AB$). За сумою гострих кутів прямокутного трикутника:
$\angle CMN=90^{\circ }-\angle MCN=90^{\circ }-\alpha$

Кут $\angle CMN$ є зовнішнім кутом для рівнобедреного трикутника $△AMC$ при вершині $M$. За теоремою про зовнішній кут трикутника:
$\angle CMN=\angle A+\angle ACM$

Оскільки $\angle A=\angle ACM$, маємо:
$\angle CMN=2\cdot \angle A⟹2\cdot \angle A=90^{\circ }-\alpha$

Звідси знаходимо кут $\angle A$:
$\angle A=\frac{90^{\circ }-\alpha }{2}=45^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$

Знаходимо другий гострий кут $\angle B$ трикутника $△ABC$:
$\angle B=90^{\circ }-\angle A=90^{\circ }-\left(45^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\right)=45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}$

3. Обчислення катетів

За означенням тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику $△ABC$:

• Катет $AC$ протилежний куту $\angle B$:
  $AC=AB\cdot \sin \angle B=c\cdot \sin \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$

• Катет $BC$ прилеглий до кута $\angle B$:
  $BC=AB\cdot \cos \angle B=c\cdot \cos \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$

Відповідь:

$AC=c\cdot \sin \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$, $BC=c\cdot \cos \left(45^{\circ }+\frac{\alpha }{2}\right)$