Завдання № 26.2. § 26. Взаємне розміщення прямих у просторі (Геометрія 9 клас Істер)

Умова:
На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

1) Назвіть усі ребра, паралельні ребру $A B$ .

2) Яке взаємне розміщення прямих:

Креслення до завдання 26.2

Покроковий розв’язок:

У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней є прямокутниками, а протилежні грані паралельні та рівні.

1. Визначення ребер, паралельних ребру $A B$ :

Грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутниками, тому протилежні сторони кожної грані паралельні.
У грані $A B C D$ протилежним ребром до $A B$ є ребро $C D$ , отже, $A B ∥ C D$ .
У грані $A B B_{1} A_{1}$ протилежним ребром до $A B$ є ребро $A_{1} B_{1}$ , тому $A B ∥ A_{1} B_{1}$ .
У верхній грані $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ протилежним ребром до $A_{1} B_{1}$ є ребро $C_{1} D_{1}$ . Оскільки $A B ∥ A_{1} B_{1}$ , то за властивістю паралельних прямих у просторі $A B ∥ C_{1} D_{1}$ .

Отже, ребру $A B$ паралельні три ребра: $C D$ , $A_{1} B_{1}$ та $C_{1} D_{1}$ .

2. Взаємне розміщення пар прямих:

Прямі $A D$ і $A_{1} D_{1}$ :
Обидві прямі містять протилежні сторони прямокутника $A A_{1} D_{1} D$ (бічної грані). Оскільки вони лежать в одній площині та не мають спільних точок, вони є паралельними: $A D ∥ A_{1} D_{1}$ .
Прямі $A_{1} D_{1}$ і $D_{1} C_{1}$ :
Ці прямі лежать у площині верхньої основи $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ і містять суміжні сторони прямокутника, які перетинаються в точці $D_{1}$ під прямим кутом ( $∠ A_{1} D_{1} C_{1} = 9 0^{\circ}$ ). Отже, вони перпендикулярні та перетинаються: $A_{1} D_{1} ⊥ D_{1} C_{1}$ .
Прямі $A_{1} B_{1}$ і $D D_{1}$ :
Пряма $A_{1} B_{1}$ належить площині верхньої основи $(A_{1} B_{1} C_{1})$ , а пряма $D D_{1}$ перетинає цю площину в точці $D_{1}$ . Оскільки точка $D_{1}$ не лежить на прямій $A_{1} B_{1}$ , то за ознакою мимобіжних прямих прямі $A_{1} B_{1}$ і $D D_{1}$ не лежать в одній площині, тобто вони є мимобіжними.

Відповідь:

1) $C D$ , $A_{1} B_{1}$ , $C_{1} D_{1}$ .

2) $A D ∥ A_{1} D_{1}$ ; $A_{1} D_{1} ⊥ D_{1} C_{1}$ (перетинаються під прямим кутом); $A_{1} B_{1}$ і $D D_{1}$ — мимобіжні прямі.